Un problema de topología relativa a la propiedad de la intersección finita

Question

Este es un problema de Munkres' Topología de Ejercicio 37.1 (c)

Deje $X$ ser un espacio. Deje $\mathscr{D}$ ser una colección de subconjuntos de a $X$ que es maximal con respecto a la intersección finita de la propiedad.

(c) Mostrar que si $X$ satistifes la T1 axioma, hay más de un punto perteneciente a $\bigcap_{D\in \mathscr{D}}\bar D$.

La propiedad que estoy intentando utilizar es la siguiente Lema.

Lema 37.2

Deje $X$ ser un conjunto; deje $\mathscr{D}$ ser una colección de subconjuntos de a $X$ que es maximal con respecto a la intersección finita de la propiedad. Entonces:

Si $A$ es un subconjunto de a $X$ que se cruza cada elemento de a $\mathscr{D}$ $A$ es un elemento de $\mathscr{D}$.

Para utilizar esta propiedad, he estado tratando de mostrar que {$\bar D | D \in \mathscr{D}$}es igual a $\mathscr{D}$, sin embargo, estoy atascado aquí como se puede ver a continuación. ¿Cómo puedo solucionar esto? Aquí es lo que tengo:

Para llevar a una contradicción, supongamos que hay distintas $x_1,x_2\in\bigcap_{D\in\mathscr{D}}\overline D$. Luego tenemos a $x_1,x_2\in\overline D$ todos los $D\in\mathscr{D}$ $\{x_1\},\{x_2\}\subset\overline D$ todos los $D\in\mathscr{D}$. Por $T_1$, $\{x_1\}$ y $\{x_2\}$ están cerrados en $X$.

Deje $\mathscr{D}'=\{D\mid D\in\mathscr{D}\}\cup\{\overline D\mid D\in\mathscr{D}\}$. A continuación,$\mathscr{D}\subset\mathscr{D}'$. Reclamo: $\mathscr{D}'$ f.yo.p.

Tomar cualquiera de los elementos finitos $C_1,\ldots,C_n\in\mathscr{D}'$.

yo. si todos los $C_1,\ldots,C_n\in\mathscr{D}$, $C_1\cap\ldots\cap C_n\ne\varnothing$ f.yo.p. de $\mathscr{D}$.
ii. si todos los $C_1,\ldots,C_n\in\{\overline D\mid D\in\mathscr{D}\}$, $C_1\cap\ldots\cap C_n\ne\varnothing$ desde $x_1,x_2\in\bigcap_{D\in\mathscr{D}}\overline D$.
iii. si $D_1,\ldots,D_k\in\mathscr{D}$, $\overline{D_{k+1}},\ldots,\overline{D_n}\in\{\overline D\mid D\in\mathscr{D}\}$, $$D_1\cap\ldots\cap D_k\cap\overline{D_{k+1}}\cap\ldots\cap\overline{D_n}\supset D_1\cap\ldots\cap D_n\ne\varnothing$$ by f.i.p. of $\mathscr{D}$. Thus by maximality, $\mathscr{D}=\mathscr{D}'$, so $\{D\mediados de la D\en\mathscr{D}\}\supset\{\overline D\mediados de la D\en\mathscr{D}\}$.

Answer 1

El resultado es false; he aquí un contraejemplo.

Deje $X=\Bbb N\cup\{p,q\}$ donde $p$ $q$ son distintos puntos que no están en $\Bbb N$. Puntos de $\Bbb N$ son aislados. Un conjunto $U\subseteq X$ es un nbhd de $p$ si y sólo si $p\in U$ $\Bbb N\setminus U$ es finito. Del mismo modo, $U\subseteq X$ es un nbhd de $q$ si y sólo si $q\in U$ $\Bbb N\setminus U$ es finito. Este espacio es $T_1$.

Deje $\mathscr{A}$ ser una familia de subconjuntos de a $\Bbb N$ que contiene el cofinite conjuntos y maximal con respecto a la f.yo.p.; usted puede utilizar el lema de Zorn para demostrar que la familia existe. Para referencia en el futuro tenga en cuenta que cada miembro de $\mathscr{A}$ es infinito. Vamos

$$\mathscr{D}=\big\{A\cup F:A\in\mathscr{A}\text{ and }S\subseteq\{p,q\}\big\}\;.$$

Si $\{A_1\cup S_1,\ldots,A_n\cup S_n\}\subseteq\mathscr{D}$, donde cada una de las $A_k\in\mathscr{A}$ y cada una de las $S_k\subseteq\{p,q\}$, luego

$$\bigcap_{k=1}^n(A_k\cup S_k)\supseteq\bigcap_{k=1}^nA_k\ne\varnothing\;,$$

por lo $\mathscr{D}$ tiene la f.yo.p. Supongamos que $B\subseteq X$, e $\{B\}\cup\mathscr{D}$ tiene la f.yo.p. Deje $A_0=B\cap\Bbb N$; a continuación,

$$A_0\cap\bigcap\mathscr{F}=B\cap\bigcap\mathscr{F}\ne\varnothing$$

para cada finito $\mathscr{F}\subseteq\mathscr{A}$, lo $A_0\in\mathscr{A}$ por el maximality de $\mathscr{A}$. Y claramente $B\setminus A_0\subseteq\{p,q\}$, lo $B\in\mathscr{D}$. Por lo tanto, $\mathscr{D}$ es maximal con respecto a la f.yo.p.

Deje $D\in\mathscr{D}$. A continuación,$D\cap\Bbb N\in\mathscr{A}$, lo $D\cap\Bbb N$ es infinito, y $p,q\in\operatorname{cl}(D\cap\Bbb N)\subseteq\operatorname{cl}D$. Por lo tanto,

$$p,q\in\bigcap_{D\in\mathscr{D}}\operatorname{cl}D\;.$$

(De hecho, no es difícil mostrar que $\bigcap_{D\in\mathscr{D}}\operatorname{cl}D=\{p,q\}$.)

El resultado sería verdadero si $X$ se $T_2$ más que meramente $T_1$; trate de probar esa versión en su lugar.

Answer 2

Aquí supongo es de $X$ % T $_2$.

Supongamos que $x,y\in X$ y $x\neq y$. Que $U,V\subseteq X$ ser disjuntos conjuntos abiertos que contiene $x$ y $y$, respectivamente. Entonces el o $U$ $X\setminus U$ es $\mathcal D$ (puede usted probar esto?). Si $X\setminus U \in \mathcal D$ y $x\notin\bigcap{D\in\mathcal D} \overline D$. Si falta a $U\in\mathcal D$ luego desde $\overline U$ $y$ tenemos $y\notin \bigcap{D\in\mathcal D} \overline D$.