¿Por qué $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2008}$ ¿tan cerca de un número entero?

Question

Utilizando una precisión de 5000 dígitos en PARI/GP, descubrí que la parte fraccionaria de $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2008}$ es extremadamente pequeño, inferior a $10^{-999}$ . ¿Existe una explicación sencilla para este hecho?

Esto parece un problema de número de Pisot (cuestiones similares ya se han estudiado en MSE, véase por ejemplo ¿Por qué $(2+\sqrt{3})^{50}$ ¿tan cerca de un número entero? ), pero es una situación más complicada.

Relacionado : Demuestra que $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2009}$ se redondea a un número par.

Answer 1

Ello se debe a que

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2m} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2m}$$

es un número entero, a saber

$$\begin{align} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2m} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2m} = 2\sum_{k=0}^{m} \binom{2m}{2k} 3^{m-k}2^k, \end{align}$$

y $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2m} <\frac{1}{3^{2m}}$ .

Answer 2

Su intuición es correcta: $$ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2008} = (5 + 2 \sqrt{6})^{1004} $$ y $5 + 2\sqrt{6}$ es un entero de Pisot. Además, Las identidades de Newton implican que $$ (5 + 2\sqrt{6})^n + (5 - 2\sqrt{6})^n \in \Bbb{Z} $$ para cada número entero positivo $n$ por lo que la distancia entre $(5 + 2\sqrt{6})^{1004}$ y el número entero más próximo es como máximo $$ (5 - 2\sqrt{6})^{1004} \approx 2.6743 \cdot 10^{-1000} $$