Expectativa condicional de libro Shiryaev página 233

Question

<blockquote> <p><strong>Posible duplicado:</strong><br> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/78546/help-with-conditional-expectation-question">Ayuda con pregunta de expectativa condicional</a> </p> </blockquote> <p>Tengo problema con el ejercicio, no resuelve.</p> <p>Que $X$ $Y$ ser i.i.d. variables al azar con $E(X)$ definido. Muestran que</p> <p>$$E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)= \frac{X+Y}{2}$ $ (a.s.)</p> <p>Muchas gracias por su ayuda.</p>

Answer 1

La primera parte de la ecuación:

$$E(X|X+Y) = E(Y|X+Y)$$

es cierto, por simetría. Son independientes e idénticas.

Ahora, ¿qué es $E(X|X+Y)+E(Y|X+Y)$?

Answer 2

Sugerencia:

• Utilizando la linealidad de la expectativa condicional (y una propiedad de otros), muestran que $E(X\mid X+Y)+E(Y\mid X+Y)=X+Y$.
• Mostrar que $E(X\mid X+Y)=E(Y\mid X+Y)$ por el siguiente argumento. Tomar $B$ un conjunto en el $\sigma$-álgebra generado por $X+Y$ ($B=(X+Y)^{-1}(B')$ $B'$), luego escriba %#% $ #% uso de independencia y una sustitución.