¿Cómo se encuentra $f(x_1, x_3)$ ?

Question

$X_i$ es el número de veces (de 100) que la cara de un dado tiene $i$ puntos.

Sé que $X_i\sim \text{binomial}(100, 1/6)$ Así que $f(x_i)={100 \choose x_i}(1/6)^{x_i}(5/6)^{100-x_i}$ .

¿Cómo se encuentra la función de masa de probabilidad conjunta para $X_1$ y $X_3$ (el número de veces que se tira $1$ s y $3$ s, respectivamente? No estoy familiarizado con los pmfs conjuntos, así que no estoy seguro de cómo empezar a averiguar esto.

Answer 1

Una forma es averiguarlo a partir de la condicional PMF en su lugar. Primero, a priori la distribución de $X_1$ es binomial( $100$ , $1/6$ ), como has dicho. Ahora suponga que conoce el valor de $X_1$ es $y$ . Entonces tienes $100-y$ oportunidades restantes para lanzar un $3$ . La única dependencia entre estos dos grupos de tiradas es que ya no se puede tirar un $1$ en el segundo grupo. Por lo tanto, el PMF condicional de $X_3$ dado $X_1$ es el PMF de la binomial( $100-X_1$ , $1/5$ ).

Entonces tenemos la fórmula

$$p_{X_1,X_3}(x,y) = p_{X_3|X_1}(x,y) p_{X_1}(y).$$

Observando el lado derecho, el primer término es, en función de $x$ para cada fijo $y$ el PMF del binomio( $100-y$ , $1/5$ ). El segundo término es el PMF del binomio( $100$ , $1/6$ ). ¿Puedes armarlo desde aquí?

Answer 2

O bien, a partir de los primeros principios.

El espacio favorecido son las permutaciones de $x_1$ probabilidad $1/6$ éxitos de tipo 1, $x_2$ probabilidad $1/6$ éxitos de tipo 2, y $n-x_1-x_2$ probabilidad $4/6$ fallos; todos ellos forman particiones disjuntas de un mismo ensayo (son mutuamente excluyentes y exhaustivos).

Al igual que el distribución binomial se construye contando permutaciones y multiplicando por la probabilidad de obtener tantos fallos y aciertos en un determinado orden, hacemos lo mismo para este distribución multinomial para obtener la función de masa de probabilidad conjunta:

$$f_{X_1,X_3}(x_1,x_3) = \frac{n!}{\Box!\,\Box!\,(\Box)!} \left(\frac{\Box}{\Box}\right)^{\Box} \left(\frac{\Box}{\Box}\right)^{\Box} \left(\frac{\Box}{\Box}\right)^{\Box}$$