En general, si $X$ es localmente convexo espacio vectorial topológico de innumerables dimensión (como un espacio lineal), entonces los débiles$^*$ topología en $X^*$ no es la primera contables.
Prueba. En la debilidad de los$^*$ topología de una sub-base de los barrios de $0$ es obtenido por los conjuntos de la forma
$$
W_{x,\varepsilon}=\{x^*\X^*: |x^*(x)|<\varepsilon\}, \quad \varepsilon>0,\, x\in X,
$$
y, por tanto, una base se obtiene por finito de las intersecciones de los anteriores juegos. En particular, si ${\mathcal N}$ es una base de los barrios de $0\in X^*$, entonces para cada a $U\in\mathcal N$, existen $n\in\mathbb N$, $x_1, \ldots x_n\in X$ y $k_1,\ldots k_n\in\mathbb N$, de tal manera que
$$
W_{x_1,1/k_1}\cap\cdots\cap W_{x_n,1/k_n}\subconjunto de U.
$$
De hecho, si cada una de las $U$ $\mathcal N$ es reemplazado por la intersección $W_{x_1,1/k_1}\cap\cdots\cap W_{x_n,1/k_n}$, entonces la nueva colección de $\mathcal N'$ de estos intersección es todavía una base de barrios de $0$.
Un paso más: El $x_n$'s, puede ser considerado para ser linealmente independientes, por si
$$
x_m=c_1x_1+\cdot+c_kx_k,
$$
a continuación,$W_{x_1,1/\ell}\cap\cdots\cap W_{x_k,1/\ell}\subset W_{x_m,1/j}$,
si $\ell>j(|c_1|+\cdots+|c_k|)$.
Ahora como $\dim X>\aleph_0$ podemos encontrar
$y\in X\smallsetminus\mathrm{span}\,\{x_n :n\in\mathbb N\}$. El uso de Hahn-Banach podemos
construir una secuencia $\{y_n^*\}_{n\in\mathbb N}\subset X^*$ satisfactorio
$$
y_n^*(y)=1 \quad\text{y}\quad y^*_n(x_j)=\frac{1}{n},\,\,\text{para $j=1,\ldots,n$.}
$$
Claramente, cada conjunto abierto de la forma $W_{x_1,1/k_1}\cap\cdots\cap W_{x_n,1/k_n}$ contiene un número finito de términos de la progresión $\{y_n^*\}_{n\in\mathbb N}$, mientras que $W_{y,1}$ contiene ninguno de ellos. Por lo tanto
$$
U\no\subseteq W_{y,1},
$$
para todos los $U\in\mathcal N$.
