¿Por qué no se define así la multiplicación de matrices?

Question

Seguro que todo el mundo ha pensado ya en esto al menos una vez. ¿Por qué la multiplicación de matrices no está definida como se muestra a continuación?

$$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \ldots \\ a_{21} & a_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & \ldots \\ b_{21} & b_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} a_{11}\cdot b_{11} & a_{12}\cdot b_{12} & \ldots \\ a_{21}\cdot b_{21} & a_{22}\cdot b_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right)$$

Sé que esta definición tiene sus limitaciones. El producto sólo funciona con matrices del mismo orden y cualquier matriz con alguna entrada cero no será invertible. Pero esta definición es asociativa, conmutativa, tiene elemento de identidad, la distributiva funciona, es más simple y más intuitiva.

No tengo ningún problema con la definición clásica, pero esta definición también tiene buenas propiedades, ¿por qué no se utiliza nunca?

Answer 1

La multiplicación matricial que utilizamos se define así porque corresponde a la composición de mapas lineales. Recordemos que, dado un espacio vectorial $V$ en $K$ con base $(e_1,\ldots,e_n)$ y un espacio vectorial $W$ en $K$ con base $(f_1,\ldots,f_m)$ tenemos un isomorfismo natural $\eta:Hom_K(V,W) \rightarrow M_{m\times n}(K)$ . El mapa $\eta$ simplemente envía un mapa lineal a su representación matricial en términos de las dos bases dadas.

Este mapa es más que un isomorfismo de espacios vectoriales: también preserva la estructura del álgebra, en el sentido de que la composición de mapas lineales se envía a la multiplicación de las matrices correspondientes.

Por ejemplo, si se calcula el efecto de las operaciones compuestas $\mathbb{R}^3 \xrightarrow{p} \mathbb{R}^2 \xrightarrow{r} \mathbb{R}^2$ en términos de sus respectivas matrices, donde $p$ es una proyección y $r$ una rotación, simplemente tendrías que multiplicar las dos matrices juntas.

Answer 2

Supongamos que utilizamos el producto que propones, junto con las sumas y restas habituales de las matrices. Entonces todo el álgebra de $m\times n$ sería lo mismo que si sólo utilizáramos vectores de longitud $mn$ . (Para más detalle, se puede convertir cualquier matriz en un vector simplemente escribiendo las filas de la matriz, una tras otra, como una única fila larga. Y este proceso de reescritura conservaría toda la estructura algebraica, es decir, la suma, la resta y su multiplicación). Así que esta álgebra de matrices no utilizaría realmente la estructura de matriz bidimensional de las matrices en absoluto; sólo sería un curioso ay de escribir operaciones componente a componente sobre vectores.