$\alpha$-computable es $\alpha$-finito si $\alpha^*<\alpha$

Question

Mi pregunta tiene que ver con $\alpha$-computabilidad teoría, un definability teoría sobre Goedel $L_\alpha$ donde $\alpha$ es admisible ordinal.

Vamos a la $\Sigma_1$ projectum de $\alpha$ $\alpha^*$ y deje $\alpha^* < \alpha$. Deje $\phi$ ser la siguiente declaración:
$\forall A \subseteq \alpha$ [si $A$ $\alpha$- computable, a continuación,$A \in L_\alpha$]

Mi confusión es que me pueden resultar $\phi$ y su negación $\neg \phi$.

La prueba de $\neg \phi$:
Suponga que $\phi$ mantiene. A continuación, vamos a $A := \alpha^*$. Claramente $A$ $\alpha$- computable. Por lo tanto, también a $\alpha - A$ $\alpha$- computable. Por $\phi$ ambos $A$$\alpha - A$$L_\alpha$. Por lo que su unión $\alpha$$L_\alpha$. Pero $\alpha$ no está delimitado en $\alpha$ trivialmente, por lo $\alpha \not\in L_\alpha$. Esa es la contradicción. Por lo $\neg \phi$ debe de ser verdad.

La prueba de $\phi$:
Fact1: $\forall B \subseteq \alpha$ [$B \in L_\alpha$ iff $B$ $\alpha$- computable y delimitada en $\alpha$]
Como $\alpha^*$ $\Sigma_1$ projectum de $\alpha$, deje $i : \alpha \to \alpha^*$ $\alpha$- computable de la inyección y $p_1 : \alpha^* \to \alpha$ $\alpha$- computable de proyección, es decir,$p_1=i^{-1}$. Deje $K:=i[A]$ (la imagen de $i$ en el subdominio $A$). Como $i$ $A$ $\alpha$- computable, por lo $K$ debe $\alpha$-computable. Pero $K$ es también limitada por $\alpha^* < \alpha$. Por lo tanto $K \in L_\alpha$ por Fact1.
Tenga en cuenta que $p_1[K]=A$. Por lo tanto $A \in L_\alpha$ $\alpha$- computabilidad de $p_1$, $\alpha$-la finitud de $K$ y por la admisibilidad de $\alpha$.

Lo que está mal en las pruebas anteriores?

Answer 1

Yo creo que he encontrado la falacia en la prueba de $\phi$, es decir, en la siguiente afirmación:
Si $A \subseteq \alpha$ $f:\alpha \to \alpha$ $\alpha$- computable, a continuación, $f[A]$ $\alpha$- computable.

Esa afirmación es errónea por el siguiente.
Fact2: Cada $\alpha$-computably conjunto enumerable es un alcance de unos $\alpha$-computable de la función.
Ahora toma un poco de $\alpha$-computably conjunto enumerable $B$ no $\alpha$-computable. A continuación, vamos a $f:\alpha \to \alpha$ algunos $\alpha$-computable función tal que su rango es de $B$. Tenga en cuenta que $\alpha$ $\alpha$- computable conjunto y $f[\alpha]=B$. Así que por la reivindicación $B$ se $\alpha$-computable, pero no lo es. Por tanto, la demanda debe ser falso en general.