¿Es una hiperesfera de dimensión no entera un fractal?

Question

Gracias a la función gamma con la fórmula de la superficie de una unidad de http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html $$ S(n) = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} $$ permite calcular la superficie de un hypersphere de no-entero dimensiones. Quería saber, ¿cuál es el número de dimensiones que necesito, por lo que la superficie de una n-esfera (con radio 1) es igual al área de un cuadrado (con "radio" 1), lo que significa que la resolución de la ecuación $$ 4 = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} $$ para $n$. Desde $S(n)$ tiene un máximo en $n=7.256...$ uno obtener dos soluciones positivas: $$ n=1.534...\\ n=15.86... $$ (ver https://www.wolframalpha.com/input/?i=2Pi%5E(n%2F2)%2FGamma(n%2F2)+%3D%3D+4).

Ahora mi pregunta es: Dado que el número de dimensiones de la n-esfera a partir de esta ecuación es un no-entero, significa que una esfera sería un fractal? Si es así, es posible construir una n-esfera con 1.534 dimensiones de alguna manera y dibujar?

Answer 1

Ya que nadie ha publicado nada todavía, por lo menos voy a dar algo en que pensar.

El d-dimensional de la generalización de la longitud Euclidiana fórmula es,

$$(1) \quad L=\sqrt{\sum_{n=1}^d x^2_n}$$

Para las fracciones de dimensiones, tenemos que ser capaces de evaluar las cantidades dentro de la raíz cuadrada de una manera coherente.

En el agradable caso de que $x_i=x$,,

$$(2) \quad \sum_{n=1}^d x^2_n=d \cdot x^2$$

Si asumimos $(2)$ mantiene para los no-entero $d$ entonces podemos sustituir $(2)$ a $(1)$ y obtener,

$$(3) \quad L=|x| \cdot \sqrt{d}$$

Ahora, por un d-dimensional de la esfera, los puntos que conforman el objeto se encuentra por encontrar el conjunto de todos los puntos tales que $(1)$ mantiene. Aquí, estamos resolviendo un subconjunto de ese problema. Es decir, estamos buscando espacial puntos, de tal manera que las coordenadas pueden ser permutados y satisfacer $(1)$.

La solución para $x$, se obtiene,

$$(4) \quad |x|=\cfrac{L}{\sqrt{d}}$$ $$\Rightarrow x=\pm \cfrac{L}{\sqrt{d}}$$

Para una unidad de esfera, $L=1$, e $d=1.534$,,

$$x=\pm 0.80739...$$

También tenemos el escenario donde se $x_i=L$$x_j=0$$j \not =i$. En este caso también tenemos las condiciones de $(1)$ satisfecho aún sin tener completamente definida por lo que las coordenadas están en fracciones de dimensiones.

¿Qué tiene que decir? NOSE...pero con la adecuada axiomas no hay nada que impide la interpretación.

Extra: debo mencionar que si una adecuada formalismo fue desarrollado, estaríamos viendo estos "fractales" en su hábitat natural. No hay ninguna razón para suponer que no verías como típico de los fractales, si se la ve desde este punto de vista.