Cuando$x=2$ en la fracción infinitamente continuada$x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4+...}}}$, ¿con qué valor algebraico converge?

Question

Supongamos que tiene la fracción infinitamente continua:$$x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4+...}}}$ $

Cuando$x=1$, puede ver que es$$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$$ which converges upon the golden ratio $ \ phi = 1.61803398875 ... $.

¿Qué pasa si tuviera que conectar$x=2$? $$2+\frac{1}{4+\frac{1}{8+\frac{1}{16+...}}}$ $ Al usar un calculador, parece converger en el número irracional:$2.24248109286...$

¿Hay alguna forma en que pueda representar este número irracional algebraicamente ?

Answer 1

Let$F(x)=x^0+\cfrac1{x^1+\cfrac1\cdots}~.$ Then$F(2)$ es OEIS A$214070$ , para el cual no se conoce ningún formulario cerrado.