Qué convergencia se puede deducir para $\sqrt{X_n}$ ?

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad (pero la cuestión es interesante para un espacio de medida general).

Dejemos que $X_n$ sea una secuencia de variables aleatorias que convergen en $L^1(\Omega)$ a una variable aleatoria $X_{\infty}.$

Mi pregunta es: ¿qué convergencia se puede deducir para las variables aleatorias $\sqrt{X_n}$ a la variable $\sqrt{X_\infty}$ ?

No puedo creer que no haya ninguno, y traté de verificarlo con el $L^2$ y $L^1$ normas, pero no podía manejar términos como $\mathbb{E}[\sqrt{X_nX_\infty}].$

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sí que hay convergencia en $\mathbb L^2$ . Utilizamos el siguiente resultado: si una secuencia $\left(Y_n\right)_{n\geqslant 1}$ de variables aleatorias es uniformemente integrable y converge a $0$ en probabilidad entonces $\mathbb E\left\lvert Y_n\right\rvert\to 0$ .

Dejemos que $Y_n:=\left(\sqrt{X_n}-\sqrt{X_\infty}\right)^2$ . Entonces $0\leqslant Y_n\leqslant 2X_n+2X_\infty$ y debido a la convergencia en $\mathbb L^1$ de $\left(X_n\right)$ deducimos que $\left(Y_n\right)_{n\geqslant 1}$ es uniformemente integrable.

Utilizando el hecho de que la convergencia en probabilidad es preservada por los mapas continuos, derivamos que $\left(Y_n\right)_{n\geqslant 1}$ converge a $0$ en la probabilidad.