El Coseno y una Parábola Enigmática

Question

En el intervalo $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, la función coseno tiene una semejanza superficial con una parábola invertida de la forma $-ax^2+1":

Quería saber más y calculé la norma $L^2$ (omití la raíz cuadrada de alrededor para mayor claridad):

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \,(\cos(x)-(ax^2+1))^2\,dx \quad=\quad \frac{\pi^5 a^2}{80}+\frac{1}{6}(48-6\pi^2+\pi^3) a+\frac{3\pi}{2}-4 $$

Minimizando la expresión del lado derecho con respecto a $a$ se obtiene la enigmática solución

$$a=\frac{-20\pi^3+120\pi^2-960}{3\pi^5}=-0.431...$$

la cual muestra una buena concordancia:

Así, la parábola $ax^2+1$ con este valor para $a$ es de alguna manera la mejor aproximación parabólica al coseno en el intervalo más grande en el cual el coseno es cóncavo como la parábola lo es.

Probablemente ya te hayas imaginado mi pregunta: ¿Qué está pasando? No sé qué esperaba que luciera el valor óptimo de $a$, pero definitivamente no es esto. ¿De dónde salen estos números "mágicos" $20$, $120$, $960$ y $3? ¿Hay alguna manera de entender este resultado sin tener que calcular la integral?

Answer 1

Estos coeficientes bastante inesperados y grandes surgen, en el cálculo de la integral y de las sucesivas minimizaciones, solo si buscamos una expresión para $a$ donde el numerador no tiene términos fraccionarios ni factores "colectados": de hecho, en este caso necesariamente tenemos que realizar algunas multiplicaciones que llevan a coeficientes relativamente grandes. Sin embargo, si permitimos tener términos fraccionarios y factores colectados en el numerador, los coeficientes se vuelven relativamente simples.

Para entender de dónde provienen estos coeficientes grandes, es conveniente analizar la solución paso a paso y mantener los números lo más "simples" posible. La integral definida inicial se obtiene al observar que, considerando cada término por separado, tenemos

$$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \,\cos^2(x)=\frac{\pi}{2}$$

$$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \,(-2 \cos(x)(ax^2+1))\,dx=(8-\pi^2)a-4$$

$$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \,(ax^2+1)^2\,dx= \frac{\pi^5}{2^4 \cdot 5}a^2+\frac{\pi^3}{6}a +\pi$$

Sumando estas tres expresiones, obtenemos que toda la integral es igual a

$$\displaystyle \frac{\pi^5}{2^4 \cdot 5}a^2+(\frac{\pi^3}{6}-\pi^2+8)a+\frac{3\pi}{2}-4 $$

La derivada es

$$\displaystyle \frac{\pi^5}{2^3 \cdot 5}a+( \frac{\pi^3}{6}-\pi^2+8) $$

que igualada a cero y resuelta para $a$ nos da la solución

$$\displaystyle a=\frac{2^3 \cdot 5 ( - \frac{\pi^3}{6}+\pi^2-8)}{ \pi^5}$$

donde los coeficientes son bastante simples y no particularmente llamativos.

Sin embargo, si queremos eliminar el término fraccional en el numerador, tenemos que recoger la cantidad $\displaystyle \frac{1}{6}$. Esto nos lleva a

$$\displaystyle a=\frac{2^3 \cdot 5 ( -\pi^3+6\pi^2-6\cdot 8)}{ 6\pi^5}= \frac{2^2 \cdot 5 ( - \pi^3+6\pi^2-6\cdot 8)}{ 3\pi^5}$$

y multiplicando el factor constante $2^2 \cdot 5=20$ para cada término en el numerador obtenemos

$$\displaystyle a= \frac{-20 \pi^3+ 20 \cdot 6\pi^2- 20 \cdot 6\cdot 8}{ 3\pi^5} \\= \frac{ -20 \pi^3+120 \pi^2-960}{ 3\pi^5} $$

que es la forma reportada en el OP.