Prueba de que $ \sup \{ \|ax + \lambda x \|: x \in \mathcal A, \, \|x\| \leq 1 \} \geq |\lambda|$ .

Question

Dejemos que $\mathcal A$ sea un complejo no unitario $C^\ast$ álgebra con norma $\|\cdot\|$ .

Estoy tratando de probar que dado $a \in \mathcal A$ y $\lambda \in \mathbb C$ $$ \sup \{ \|ax + \lambda x \|: x \in \mathcal A, \, \|x\| \leq 1 \} \geq |\lambda|.$$

Estoy buscando una pista para resolver esta cuestión.

¿Ayuda?

Answer 1

Puede representar $\mathcal A$ como un álgebra de operadores acotados sobre $\mathcal A$ utilizando la multiplicación por la izquierda: $\varphi:\mathcal A\to B(\mathcal A)$ , $\varphi(a)x=ax$ . Se trata de una representación isométrica por la identidad C* $\left(\|\varphi(a)\|\leq \|a\|\right.$ sería verdadera en cualquier álgebra de Banach, y la igualdad se mantiene porque $\|\varphi(a)a^*\|=\|a\|\|a^*\|\left.\right)$ . Sea $I\in B(\mathcal A)$ sea el operador de identidad, y sea $\overset{\sim}{\mathcal{A}}=\varphi(\mathcal A)+\mathbb CI$ que es un Banach unificación del álgebra de $\varphi(\mathcal A)$ , habiendo $\varphi(\mathcal A)$ como $1$ -ideal cerrado de dos caras. Si $a\in \mathcal A$ y $\lambda\in \mathbb C$ entonces $$\|\varphi(a)+\lambda I\|=\sup \{ \|ax + \lambda x \|: x \in \mathcal A, \, \|x\| \leq 1 \}. $$

Por otro lado, si $\pi: \overset{\sim}{\mathcal{A}}\to \overset{\sim}{\mathcal{A}}/\varphi(\mathcal A)\cong\mathbb C$ es el mapa cociente, entonces $\|\pi\|=1$ Por lo tanto

$$\|\varphi(a)+\lambda I\|\geq \|\pi(\varphi(a)+\lambda I)\|=|\lambda|.$$

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Bien, aquí hay una forma más fácil si se da por hecho la unitización. Tenga en cuenta que $\sup \{ \|ax + \lambda x \|: x \in \mathcal A, \, \|x\| \leq 1 \}$ es la norma de $a+\lambda 1$ en la unitización C* de $A$ . Para una contradicción, supongamos $\|a+\lambda 1\|<|\lambda|$ . Entonces $\left\|\frac1{\lambda}a+1\right\|<1$ Por lo tanto $-\frac{1}{\lambda}a$ es invertible, lo cual es absurdo porque $a$ está en el ideal adecuado $A$ de la unitización.

El método más complicado de arriba tiene poca ventaja para demostrar este resultado, pero describe cómo la unitización de C* obtiene su norma, que es el contexto que hace que se vea la forma más fácil (aunque yo no lo hiciera al principio).

Answer 2

Como las normas se conservan en la unitización, no está de más suponer que $\mathcal A$ es unital (estarías usando más $x$ Así que el $\sup$ aumentaría).

Entonces basta con demostrar la desigualdad para $a$ invertible. Nótese que $$\|ax+\lambda x\|\geq\|\lambda x\|-\|ax\|.$$ Así que quieres elegir $x$ con $\|x\|=1$ (o cerca) y $\|ax\|$ pequeño.

Para $a$ invertible, se dispone de la descomposición polar, que permite hacer cálculo funcional en $|a|$ .