Multiplicación de matrices: una única solución?

Question

Deje $A=\begin{bmatrix}6 & 5\\-7 & 9\end{bmatrix}$$C=\begin{bmatrix}1 & -2\\4 & -8\end{bmatrix}$. Encontrar todas las matrices $B$ tal que $AC=BC$.

$\begin{bmatrix}6&5\\-7&9\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1&-2\\4&-8\end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix}6 \times 1 + 5 \times 4 & 6 \times (-2) + 5 \times (-8) \\ (-7) \times 1 + 9 \times 4 & (-7) \times (-2) + 9 \times (-8)\end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix}26 & -52 \\ 29 & -58\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}6&5\\-7&9\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}26 & -52 \\ 29 & -58\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}6b_1 + 5b_3 & 6b_2 + 5b_4 \\ -7b_1 + 9b_3 & -7b_2 + 9b_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}26 & -52 \\ 29 & -58\end{bmatrix}$

Ecuaciones:

$6b_1 + 5b_3 = 26$

$-7b_1 + 9b_3 = 29$

Eliminar $b_1$:

$42b_1 + 35b_3 = 182$

$-42b_1 + 54b_3 = 174\implies 89b_3 = 356 \implies b_3 = 4$

$6b_1 + 20 = 26 \implies b_1 = 1$

$6b_2 + 5b_4 = -52$

$-7b_2 + 9b_4 = -58$

Eliminar $b_2$:

$42b_2 + 35b_4 = -364$

$-42b_2 + 54b_4 = -348\implies89b_4 = -712 \implies b_4 = -8$

$6b_2 + 5(-8) = -52 \implies b_2 = -2$

Por lo tanto, es cierto que la única solución es al $A = B$? O me estoy perdiendo algo?

EDITAR:

Cameron Williams

Usted ha mencionado esto, pero no sin problemas.

$\begin{bmatrix}1&-2\\4&-8\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}26&-52\\29&-58\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}b_1-2b_3 & b_2 - 2b_4 \\ 4b_1 - 8b_3 & 4b_2 - 8b_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}26&-52\\29&-58\end{bmatrix}$

Nuevas ecuaciones:

$b_1 - 2b_3 = 26$

$4b_1 - 8b_3 = 29$

Eliminar $b_1$ $b_3$ y hacer un inválido ecuación:

$(4b_1 - 8b_3) - 4(b_1 - 2b_3) = 29 - 104$

$0 = -75$

¿Qué significa esto?

No creo que sea necesario utilizar las otras 2 ecuaciones, pero no entiendo lo que esta no válida, la igualdad se supone que significa eso.

Answer 1

Tenemos $$C=\begin{bmatrix}1 & -2 \ 4 & -8 \end{bmatrix}$$ where we can see the second row of $C $ is a scalar multiple ($4 $) of the first row of $C$.

Así que si dejamos que $$D=\begin{bmatrix} 4a & -a \ 4b & -b \end{bmatrix}$$ for any $, b \in \mathbb{R}$, then we have $$DC=\mathbf{0}$$ where $\mathbf{0}$ is the $2 \times 2 $ all-$0$ matriz.

Por lo tanto, si luego, $AC=BC$ $$AC=BC=BC+DC=(B+D)C,$$ and, since $ a $ and $b$ arbitraria, hemos encontrado un número infinito de soluciones.

Answer 2

Dos matrices son iguales si, y sólo si, su acción sobre cualquier vector es el mismo (este es un caso especial de Yoneda del lema que es realmente fácil de demostrar, utilizando sólo las cosas que usted sabe de álgebra lineal). Observe que $C$ rango $1$ y su imagen es atravesado por $(1,4)^T$. Así que la única cosa que requieren de $B$ es actuar exactamente como $A$ sobre el vector $(1,4)^T$, es decir: $$B\left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6&5\\-7&9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}26\\31\end{array}\right)$$ Esto le da la $2$ ecuaciones en $4$ variables: $$\begin{array}{ll}b_{11}+4b_{12}=26\\b_{21}+4b_{22}=31\end{array}$$ que tiene un $2$-dimensiones del espacio de soluciones.