¿Hay un subespacio incontables $F \subseteq \omega^{\omega_1}$ que es cerrado y discreto?

Question

¿Existe un incontable subespacio $F \subseteq \omega^{\omega_1}$ que es cerrado y discreto?

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Edit: he hecho un par de intentos para resolverlo, pero no llegar a ninguna parte (además no creo que son interesantes, pero por si acaso...).

1. El argumento clásico de que la plaza de la Sorgenfrey línea, $X^2$, no es T4 utiliza el hecho de que es separable y tiene una discreta subespacio cerrado de tamaño $2^{\aleph_0}$. Es decir, si se T4, a continuación, por la extensión de Tietze teorema habría al menos $2^{2^{\aleph_0}}$ funciones continuas $X^2 \to \mathbb{R}$. Por otro lado, a partir de divisibilidad del número de tales funciones es en la mayoría de las $2^{\aleph_0}$, lo cual es una contradicción, ya que $2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}}$.

   Pero el análogo argumento no parece funcionar aquí, en primer lugar porque no sé si $\omega^{\omega_1}$ es normal* (yo sé que es separable), en segundo lugar, porque tenemos que

   $2^{\aleph_1} \leqslant |C(\omega^{\omega_1})| \leqslant 2^{\aleph_0}$

   y que es consistente con ZFC.

2. No sé si $\omega^{\omega_1}$ es un Lindelöf espacio*. Si es así, se deduce que la respuesta es negativa: supongamos $F \subseteq \omega^{\omega_1}$ es un cerrado discretos subespacio. A continuación, como un subespacio cerrado de un Lindelöf el espacio, es también Lindelöf, pero ya que es discreto, debe ser contable.

3. También desde $\displaystyle \omega = \bigcup_{n < \omega} n$ $n^{\omega_1}$ es compacto, me siento como $\omega^{\omega_1}$ debe ser cerca de ser compacto en un sentido que yo no soy capaz de formalizar, pero si es algo similar a estar Lindelöf, tal vez sería de uso aquí.

La pregunta fue concebido por mí mismo, así que no tengo idea de lo difícil que es, o si la respuesta es decidable en ZFC.

*Yo también estaría interesado en las respuestas a estas dos preguntas (si $\omega^{\omega_1}$ es normal y si es Lindelöf), pero no sé si debo pedir a todos a la vez.

Answer 1

Sí, se trata de un subespacio, de acuerdo a este documento:

Mycielski J., $\alpha$-incompactness de $N^\alpha$, Bull. Acad. Polon. Sci. La Ser. De matemáticas. Astr. Phys. 12 (1964), 437-438.

(No puedo acceder a esta referencia en línea, pero demuestra que $e(\omega^\tau) = \tau$ al $\tau$ es un cardenal más pequeño que el primero débilmente inaccesible cardenal. $e(X)$ es el supremum de cardinalidades de un cerrado discretos subespacio de $X$. Así, por $\tau=\omega_1$ dice que $\omega^{\omega_1}$ ha cerrado discretos subespacio de tamaño $\aleph_1$; si usted puede conseguir el asimiento de una copia digital, por favor enviar a mí también, tengo curiosidad acerca de su prueba.)

He encontrado la referencia y el resultado que se refiere en este documento que muestra que el $\omega^{\omega_1}$ no $\alpha$-normal (con una propiedad más débil que la normalidad se define en la que se hace referencia en el papel). Esto se generaliza el clásico debido a la A. H. Piedra que $\omega^{\omega_1}$ no es normal (así también no Lindelöf, como regular Lindelöf espacio sería lo normal), que es reprendido en este blog

La cardinalidad argumento al que te refieres es llamado Jones' lema:

Si $X$ es normal y tiene un subconjunto denso de tamaño $d(X)$ y un cerrado y espacio discreto de tamaño $e(X)$, $2^{e(X)} \le 2^{d(X)}$

y como $\omega^{\omega_1}$ es separable sabemos que si $\omega^{\omega_1}$ fueron normales, $2^{e(X)} \le \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$, pero esto no implica que $e(X) \le \aleph_0$, e.g $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_1}$ es posible, como también del estado.

Pero no Lindelöfness es clara tanto de la no-normalidad de $\omega^{\omega_1}$ y Mycielski del teorema.