Cohomology anillos y 2D TQFTs

Question

Hay un "teorema folk" (alternativamente, una fácil y divertida de hacer ejercicio) que afirma que un 2D TQFT es el mismo que el de un conmutativa Frobenius álgebra. Ahora, para cada compacto orientado colector $X$ podemos asociar a un natural de Frobenius álgebra, es decir, la cohomology anillo de $H^\ast(X)$ con la dualidad de Poincaré de emparejamiento. Por lo tanto para cada compacto orientado colector $X$ podemos asociar un 2D TQFT.

Es esto una coincidencia? ¿Hay alguna razón podríamos haber esperado este TQFT pop-up?

Al $X$ es un compacto simpléctica colector, tal vez la apariencia de la Frobenius álgebra puede ser explicado por el hecho de que el quantum cohomology de $X$, que proviene de la a-trenzado sigma-modelo con destino $X$, se convierte en el ordinario cohomology de $X$ al pasar a la "gran límite de volumen".

Pero para una compacta orientada $X$? No veo cómo podríamos interpretar el aspecto de la Frobenius álgebra en algunos cuántica de campo de la teoría de la forma. Tal vez hay una explicación a través de Morse homología?

Answer 1

De hecho, hay un Morse homología de explicación; y, en el simpléctica caso, es una degeneración de la Hamiltoniana Floer cohomology de la imagen. En pocas palabras, que degeneran las superficies de gráficos y, a continuación, utilizar una diferente Morse función de cada borde. Este ha sido explorado (por ejemplo) por Ralph Cohen, inicialmente en un papel con Betz y, más recientemente, con Norbury:

http://arxiv.org/pdf/math/0509681v1.

Answer 2

Estos 2D TQFTs no provienen de extendido teorías (a menos que X es discreta). Yo interpreto esto como diciendo que estas teorías no-locales (en el 2D bordism) y lo que va a tener problemas en la interpretación de ellos en un tradicional QFT marco. Usted tendrá que hacer algo divertido y no locales, como el aplastamiento de los círculos de puntos y superficies a los gráficos, como en el de Cohen trabajo mencionado por Tim.