Restricciones en la suma de filas y columnas de una matriz

Question

Supongamos que $r_i$, $1 \le i \le n$, y $c_j$, $1 \le j \le m$, son enteros no negativos. ¿Cuándo existe una matriz $n \times m$ en $\text{Mat}_{n \times m} (\mathbb{Z}^+)$, es decir, con entradas no negativas, tal que $r_i$ sea la suma de las entradas en su $i$-ésima fila y $c_j$ sea la suma de las entradas en su $j$-ésima columna?

Answer 1

Las soluciones enteras no negativas existen siempre que se cumpla la "condición de equilibrio" (también necesaria):

$$ \sum_i r_i = \sum_j c_j $$

que simplemente suma las entradas totales de la matriz de dos formas.

Hay un artículo de revisión de Alexander Barvinok sobre esto: http://www.math.lsa.umich.edu/~barvinok/linalg.pdf