Dejemos que $B$ sea un espacio de Banach, $B^*$ sea el dual de $B$ y $\mathcal B$ sea la bola unitaria cerrada en $B^*$ .
Por el teorema de Banach-Alaoglu, $\mathcal B$ es cerrado en la topología débil-*. Mi pregunta es si en general la topología débil-* en $B^*$ ¿es la topología más fuerte para que esta afirmación se cumpla?
Gracias
No. La compacidad de la bola unitaria depende sólo de los conjuntos abiertos que intersecan la bola unitaria. Se pueden añadir montones y montones de nuevos conjuntos abiertos lejos de la bola unitaria sin que la bola unitaria deje de ser compacta.
Por ejemplo, introducir una nueva topología en $B^*$ un subconjunto $U \subset B^*$ es abierto si y sólo si hay algún conjunto $V$ abierto en la topología débil-* tal que $U \cap \mathcal{B} = V \cap \mathcal{B}$ . Esta condición garantiza que la topología inducida en $\mathcal{B}$ es la misma que la topología inducida de la topología débil-*. Ahora, como estas topologías son las mismas, $\mathcal{B}$ es compacto en esta nueva topología. El complemento de la $\mathcal{B}$ en $B^*$ tiene una topología discreta, sin embargo.
¿Probablemente estabas pensando en alguna topología relacionada con la estructura del espacio de Banach?
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