En muchas de nuestras derivaciones o en ecuaciones diferenciales nos encontramos con los términos Jacobiano o Wronskiano. Por ejemplo, para verificar la independencia lineal de soluciones de ecuaciones diferenciales, nos aseguramos de que el Wronskiano sea distinto de cero. ¿Qué papel juegan estos términos? ¿Qué es lo que realmente representan?
Aquí está la diferencia entre los dos conceptos:
El Jacobiano es una matriz $m\times n$ y consiste en las derivadas de primer orden de todas las variables de una función dada $f$. La matriz jacobiana es una matriz $m\times n$ que da la mejor aproximación lineal de $f$ cerca del punto $x\in \mathbb{R}^n$. Si tenemos una matriz cuadrada, entonces $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ y el jacobiano nos dice que $f$ es invertible si el jacobiano en un punto es distinto de cero.
Por otro lado, el Wronskiano se usa para mostrar que un conjunto de soluciones son linealmente independientes, siempre que el Wronskiano no se anule. Para funciones $f_1,...,f_n$ el Wronskiano es el determinante de una matriz $n\times n$ definida en un intervalo $x\in I$. A diferencia del Jacobiano, incluye derivadas de orden superior que las primeras derivadas (aquí, debemos tener derivadas de orden $(n-1)^{\text{th}}$).
*Ver Wikipedia para más detalles.
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