La lectura acerca de agrupar objetos en categorías, es un hecho que un objeto de grupo en la categoría de $\mathcal{Set}$ a sólo un grupo común. Estoy tratando de dar una prueba real de esto, pero estoy un poco confundida sobre cómo conectar el grupo de axiomas para la definición de un objeto de grupo - principalmente porque el grupo de axiomas trabajo con elementos dentro de un grupo, pero en la categoría de teoría, los elementos de un objeto realmente no juegan un papel importante. Así que me pregunto cómo en realidad la prueba de que un grupo de objetos en $\mathcal{Set}$ es de hecho un grupo.
La definición de un objeto de grupo como el que yo conozco es la siguiente, dado por Richard Rosa en "Finito grupo esquemas":
A (conmutativa) objeto de grupo en la categoría de $\mathcal{C}$ es un par formado por un objeto $G \in ob(\mathcal{C})$ y un morfismos $\mu : G \times G \to G$ tal que para cualquier objeto $Z \in ob(\mathcal{C})$ el mapa $G(Z) \times G(Z) \to G(Z)$, $(g, g') \mapsto \mu \circ (g, g')$ define a (conmutativa) del grupo.
Donde $G(Z)$ es el conjunto de morfismos $Z \to G$.
También estoy no seguro si esto es una definición adecuada (por ejemplo, no debería ser explicado de lo que se supone por "definir un grupo").
