Prueba $\sigma \in S_n$ tiene el mismo ciclo tipo $\sigma^{-1} \in S_n$

Question

Deje $\sigma \in S_n$.

Entonces podemos escribir $\sigma = s_1 \cdot \ldots \cdot s_k$ como producto de ciclos disjuntos $s_j$ $1 \le j \le k$

Indicar el tipo de ciclo de $\sigma$ $x_1, \ldots ,x_k$ donde$x_i \le x_j$$i \le j$.

Quiero demostrar que la $\sigma^{-1} \in S_6$ tiene el mismo tipo de ciclo como $\sigma$. Que es su distinto ciclo de descomposición consiste en el mismo número de ciclos de la misma longitud.

Para cada uno de los ciclos de $s_j$ podemos escribir el ciclo en sentido inverso, lo que implica que el ciclo de descomposición todavía está desunido y que $\sigma$ $\sigma^{-1}$ cancelar el uno al otro. Sin embargo, este argumento no es muy riguroso, y yo realmente no sé cómo escribir matemáticamente.

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que su notación para la permutación de la teoría es, así que vamos a $x^{\sigma}$ ser la imagen de $x$ bajo $\sigma$ $\sigma^i $ ser una composición de $i$ muchas $\sigma$'s

Deje $\sigma =(a_1 \dots a_n) \in S_m$ $n$- ciclo, y $x \in \{a_1, \dots , a_n\}$. Tenga en cuenta que $x^{\sigma^j} = x^{\sigma^k}$ fib $j \equiv k \mod n$.

Por lo $x^{\sigma^n} = x$ $\sigma^{-1}$ tiene la siguiente asignación, $x \mapsto x^{\sigma^{n-1}}$, $x^{\sigma^{n-1}} \mapsto x^{\sigma^{n-2}}$, $\dots$, $x^\sigma \mapsto x$. Por lo tanto $\sigma^{-1} = ( x x^{\sigma^{n-1}} x^{\sigma^{n-2}} \dots x^{\sigma})$ ha $n$ los distintos elementos. Por lo tanto, $\sigma$ $\sigma^{-1}$ tienen el mismo tipo de ciclo.

Esta es esencialmente la "invertir" unido y José idea se ocupa del caso general.

Answer 2

El inverso de un ciclo es el ciclo escrito al revés.