He estado trabajando a través de Jost's Geometría riemanniana y análisis geométrico y he tenido algunos problemas para entender la definición del espacio de Sobolev $H^{1,2}(M,N)$ . En particular, no estoy seguro de cómo define el espacio $L^2(M,N)$ .
Dejemos que $M$ y $N$ sean variedades riemannianas. Entonces el espacio de Sobolev $H^{1,2}(M,N)$ se define como el conjunto de funciones $f\in L^2(M,N)$ con energía finita, $E_2(f)<+\infty$ .
La primera mención del espacio $L^2(M,N)$ está en $\S 8.3$ pero se proporciona sin definición. Jost se refiere a la convergencia en este espacio $L^2(M,N)$ en varios enunciados de teoremas (por ejemplo, el lema 8.3.2). Para mí tendría más sentido que $N$ era un haz de vectores sobre $M$ ya que tendríamos una norma en $N$ y entonces podríamos ver la integrabilidad de las funciones $M\to N$ de forma similar a la integrabilidad de Bochner. Pero este no parece ser el caso.
También se podría utilizar el teorema de incrustación isométrica de Nash para encontrar una isometría $i:N\to\mathbb{R}^k$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ y luego decir que $f\in L^2(M,N)$ si $f\in L^2(M,i(N))$ pero esto no parece estar bien definido ni ser canónico de ninguna manera (si $M$ no es compacto) ya que podemos simplemente desplazar $i(N)$ arbitrariamente en $\mathbb{R}^k$ .
Así que mi pregunta es realmente: ¿cómo son los $L^p(M,N)$ ¿espacios definidos para los mapas entre variedades riemannianas?
