reducción del $x^4+1$ $\mathbb{Z}_p[x]$

Question

Posibles Duplicados:
reducible polinomio modulo cada primer

Ok, así que tenemos que demostrar lo siguiente: Si $R=\mathbb{Z}_p$ $p$ un primo, entonces, $x^4+1$ es reducible $R[x]$. Esto es, son mis ideas (por favor, hágamelo saber si hay una forma más fácil para hacer frente a este problema):

En primer lugar si $p=2$, entonces sabemos que $x+1$ es un factor ya que $1^4+1=0$ y de ello se sigue que $x-1=x+1$ es un factor.

Por lo tanto a partir de ahora supongamos $p$ es impar. En primer lugar si $x^4+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$, tengo que el líder de los coeficientes de los factores es $1$ desde que tengo siempre la fuerza de este, y ahora puedo obtener el siguiente:

$bd=1$

$ad+bc=0$

$d+ac+b=0$

$a+c=0$

Donde los de arriba se obtienen multiplicando los factores y ajuste de los coeficientes para el valor debe ser.

Sin embargo, podemos usar la última ecuación y el enchufe en la segunda ecuación, para obtener el $a(b-d)=0$ y desde $\mathbb{Z}_p$ es un campo, entonces sabemos que no tiene divisores de cero.

Si $a=0$ entonces tenemos que $b=-d$ y, por tanto,$-d^2=1$, lo que significa que $d^2=-1$. Mediante el uso de residuos cuadráticos (aquí es donde me preocupe ya que mi clase no cubierta que) tenemos que si $p\equiv 1\pmod{4}$, entonces sabemos que (El Símbolo de Legendre) $(\frac{a}{p})=\bar{a}^{(p-1)/2}$ con $a=-1$,$(\frac{a}{p})=1$, lo $-1$ no es un residuo cuadrático, es decir, que es un cuadrado., por lo tanto

$x^4+1=(x^4-(-1))=(x^2-d)(x^2+d)$

Estoy atascado en el caso de $p\equiv 3\pmod{4}$. Cualquier ayuda, comentarios, sugerencias o ideas, se agradecería!

Answer 1

Cualquier extraño primer $p$ $p^2-1$ es divisible por $8$. Puesto que su grupo multiplicative es cíclico, el campo finito $\mathrm{GF}(p^2)$ contiene una primitiva raíz octava de la unidad. Una raíz de octavo de la unidad satisface $x^4+1=0$, por lo $x^4+1$ debe tener un factor lineal o cuadrático.

Answer 2

Si $p \equiv 1 \pmod{4}$, tenemos la factorización $$x^4 + 1 = (x^2 + i)(x^2 - i),$$ where $i \in \mathbb{F}_p$ is the element such that $i^2 = -1$.

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Al $p \equiv 3 \pmod{4}$ si $2$ es un cuadrado de $\bmod{p}$ (es decir $a^2 = 2$), luego

$$ x^4 + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 - ax + 1). $$

Si $2$ no es un cuadrado, entonces $-2$ es un cuadrado de $\bmod{p}$ (ver mi respuesta aquí para una prueba). Si, decir $b^2 = -2$, luego

$$ x^4 + 1 = (x^2 +bx -1)(x^2 -bx -1). $$