El grupo lineal general está cerrado

Question

En geometría algebraica aprendí que $GL(n, \mathbb R)$ es Zariski-cerrado (cada grupo algebraico lineal es un subgrupo cerrado de él, y es en sí mismo algebraico lineal), y como la topología de Zariski es más gruesa que la topología habitual, debe ser cerrada en la topología estándar, pero por la condición de definición $ \det (A) \ne 0$ también está abierto, lo que no es posible en la topología estándar, ya que este espacio está conectado.

Entonces, ¿algo está mal aquí, pero no lo veo? ¿Alguien podría explicarme esto, por favor?

Answer 1

$GL(n)$ es un grupo algebraico, es decir, es una variedad (descrita por polinomios) y la multiplicación y la inversa del grupo también son polinomios. Por ejemplo, $GL(2)$ es el conjunto de todos los $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ con $ad-bc\ne 0$ que también puede describirse como el conjunto de todos los $(a,b,c,d,D)$ que son ceros del polinomio único $(ad-bc)D-1$ . Obsérvese que aquí vemos cinco, no cuatro variables. Por lo tanto, estamos hablando de un subconjunto cerrado (Zariski) de $F^{n^2+1}$ , no de $F^{n^2}$ .

También hay que tener en cuenta que añadir el $D$ no es sólo un truco para convertir un desigualdad en una igualdad. Por el contrario, es esencial hacer la inversión polinómica, la inversa de $(a,b,c,d,D)$ ser $(dD,-bD,-cD,dD,ad-bc)$ .

Answer 2

$GL(n, \mathbb R)$ es Zariski-cerrado (cada grupo algebraico lineal es un subgrupo cerrado de él, y es en sí mismo algebraico lineal)

Cada grupo algebraico lineal es un subgrupo cerrado de $GL(n, \mathbb {R})$ (es decir, cerrado como un subconjunto del espacio $GL(n, \mathbb {R})$ con la topología de Zariski). Esto te dice $GL(n, \mathbb {R})$ está cerrado como un subconjunto de sí mismo pero eso es obvio. Lo que no te dice es que $GL(n, \mathbb {R})$ se cierra como un subconjunto de $ \mathbb {R}^{n^2}$ y de hecho su argumento muestra que no está cerrado como un subconjunto de $ \mathbb {R}^{n^2}$ .

Answer 3

Dejemos que $F$ sea un campo, y $\mathbb{A}_F^m$ el afín $m$ -espacio. Por definición, $\mathbb{A}_F^m$ es el esquema afín $\textrm{Spec}(F[T_1, ... , T_n])$ cuyo espacio topológico subyacente es el conjunto de ideales primos de $F[T_1, ... , T_n]$ en la topología de Zariski. Los subconjuntos irreducibles cerrados de $\mathbb{A}_F^m$ están en correspondencia uno a uno con los ideales primos de $F[T_1, ... , T_n]$ .

Considere el determinante $\textrm{det} = \textrm{det}(T_{ij})$ que es un polinomio en $n^2$ variables. Si $R = F[T_1, ... , T_n]$ entonces el conjunto abierto

$$\{ \mathfrak p \in \mathbb{A}^{n^2} : \textrm{det} \not\in \mathfrak p\}$$

hereda la estructura de un esquema afín, que se llama $\textrm{GL}_n$ . Su anillo de coordenadas es $R_{\textrm{det}}$ la localización de $R$ en $\textrm{det}$ . No es un subconjunto cerrado de $\mathbb{A}^{n^2}$ .

Pero hay otro esquema, isomorfo a $\textrm{GL}_n$ cuyo espacio subyacente es un conjunto cerrado en un espacio afín. En concreto, el subesquema cerrado de $\mathbb{A}^{n^2+1} = \textrm{Spec}(R[Y])$ correspondiente al ideal primo $I = Y \cdot \textrm{det}(T_{ij}) - 1$ de $R[Y] = F[T_{ij},Y]$ .

Dar un isomorfismo de estos esquemas es lo mismo que dar un isomorfismo de sus anillos de coordenadas

$$F[T_{ij},Y]/I \rightarrow R_{\textrm{det}}$$

que es fácil.

Cuando $F$ es un campo topológico, por ejemplo $\mathbb{R}$ entonces el $F$ -puntos racionales $$\textrm{GL}_n(F) := \textrm{Hom}_{\textrm{$ F $-sch}}(\textrm{Spec}(F),\textrm{GL}_n)$$

heredan una estructura de grupo y una topología, concretamente la topología del subespacio de $\mathbb{A}_F^{n^2}(F) = F^{n^2}$ .