ODE $2yy'' - 3(y')^2 = 4 y^2$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación usando estas sustituciones (como se sugirió en mi libro de texto): $$ y = e^{z(x)} \implies y' = z'y \implies y'' = y((z')^2 + z'') $$ El resultado es: $$ 2y^2((z')^2 + z'') - 3y^2(z')^2 = 4y^2 \implies 2z'' - (z')^2 = 4$$ Aquí estoy atascado y no puedo encontrar la manera de simplificarlo o reducir el orden de la ecuación. ¿Qué debo hacer entonces?

Answer 1

puede utilizar otras sustituciones

deja $y'=p$ Entonces $$y''= \dfrac {dp}{dx}= \dfrac {dp}{dy} \cdot\dfrac {dy}{dx}=p \dfrac {dp}{dy}$$ así que $$2yp \cdot\dfrac {dp}{dy}=3p^2+4y^2$$ entonces $$ \dfrac {dp}{dy}= \dfrac {3p}{2y}+ \dfrac {4y}{p}$$ deja $ \dfrac {p}{y}=u$ y luego tener $$ \dfrac {dp}{dy}=u+ \dfrac {du}{dy} \cdot y$$ así que $$ \dfrac {2u}{u^2+8}du= \dfrac {dy}{y}$$ entonces $u^2+8=C_{1}y$ ,

entonces es fácil encontrarlo

Answer 2

De su método

$$ 2z'' - (z')^2 = 4 $$

Deje que $p = z'$

$$ 2p' = 4+p^2 $$

Esta ecuación es separable $$ \frac {1}{4+p^2}\,p' = \frac {1}{2} $$

Integrar $$ \int\frac {2}{4+p^2}\,dp = \frac {t}{2} + C$$

Answer 3

Deje que $z=2u,z'=2u',z''=2u''$ . Luego

$$4u''-4u'^2=4$$ $$ \frac {u''}{u'^2+1}=1$$ $$ \tan ^{-1}u'=x+a$$ $$u'= \tan (x+a)$$ $$u=- \ln [ \cos (x+a)]+b$$

Entonces, sólo sustituya a la espalda desde aquí.