El conjunto de todos los ordinales contables es $\omega_1$ que tiene una cardinalidad de $\aleph_1$ . Al aceptar la hipótesis del continuo, $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ por lo que existe una biyección entre ordinales contables y números reales. Se conoce alguna bijección de este tipo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El uso del término "biyección conocida" no está claro. Si se refiere a una fórmula explícita en el lenguaje de la teoría de conjuntos que $\sf ZFC$ demuestra que es una biyección, entonces la respuesta es no. Si eso hubiera existido, entonces la hipótesis del continuo habría sido un teorema, en lugar de una frase coherente.
En determinados supuestos, por ejemplo $V=L$ existe una biyección definible, y se puede decir, si es así, que existe un enunciado en el lenguaje de la teoría de conjuntos que bajo el axioma adicional $V=L$ define una biyección entre $\omega_1$ y $\mathcal P(\omega)$ .
Sin embargo, en general no hay ningún parámetro libre $\varphi$ tal que $\sf ZFC+CH$ demuestra que $\varphi$ define una biyección. Supongamos por contradicción que $\varphi(x,y)$ define dicha biyección (por tanto $x\subseteq\omega$ y $y<\omega_1$ ). $\newcommand{\forces}{\mathrel{\Vdash}}$
Consideremos ahora $V\models\sf ZFC+CH$ y que $\Bbb P=2^{<\omega}$ en $V$ sea el forzamiento de Cohen que añade un único real, cuyo nombre canónico es $\dot r$ . Sea $G$ es un filtro genérico, entonces $V[G]$ también es un modelo de $\sf ZFC+CH$ .
Por lo tanto, en $V[G]$ la fórmula $\varphi(x,y)$ sigue definiendo una biyección, por lo que existe alguna $\alpha<\omega_1$ y $p\in G$ tal que $p\forces\varphi(\dot r,\check\alpha)$ . Sea $m,n$ dos enteros que no están en el dominio de $p$ (recuérdese que una condición es una función parcial de $\omega$ en $2$ con un dominio finito) y considerar la $2$ -ciclo $(m\ n)$ como permutación de $\omega$ . Por argumentos estándar esta permutación se extiende al forzamiento y a los nombres, y tenemos, $$p\forces\varphi(\dot r,\check\alpha)\iff\pi p\forces\varphi(\pi\dot r,\pi\check\alpha)=p\forces\varphi(\pi\dot r,\check\alpha).$$ Por lo tanto $p$ fuerzas que $\varphi$ no definen una biyección. Esto es una contradicción con la suposición de que lo hace.
Nota: Si permitimos parámetros, entonces por supuesto que tal fórmula existe, ya que sólo tenemos que escribir como una fórmula en $\varphi(x,y,u)$ que $u$ es una biyección entre $\mathcal P(\omega)$ y $\omega_1$ y que $u(x)=y$ . Esto crea claramente una circularidad en la pregunta, por lo que sólo traté el caso sin parámetros.
Por supuesto, se puede definir todo un amplio espectro de parámetros permitidos, números reales, conjuntos contables de números reales, etcétera, etcétera. En mi respuesta anterior sólo he tratado el caso más sencillo, y podría haber una respuesta positiva si utilizamos una parametrización suficientemente fuerte; pero mi sospecha es que cualquier respuesta de este tipo equivaldría a codificar la biyección de una forma u otra.
