Supongamos que X e Y son i.i.d y $\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\overset{d}=X\overset{d}=Y$ , demuestran que X tiene una distribución normal.

Question

Supongamos que $X$ et $Y$ son independientes con media cero y varianza 1, y $\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\overset{d}=X\overset{d}=Y$ . Utilice el CLT para demostrar que $X\sim \mathcal N(0,1)$ .

He visto en muchos sitios que el conjunto $\frac{S_{2^n}}{\sqrt{2^n}}$ para demostrar el problema. ¿Es factible realizar la prueba utilizando $\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}$ ?

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Ya veo, hay que poner $\frac{S_{2^n}}{\sqrt{2^n}}$ . Así, $X\overset{d}=\frac{S_{2^n}}{\sqrt{2^n}}\overset{d}\to \mathcal N(0,1)$ .

Answer 1

Utilizando la línea de razonamiento sugerida por el autor, dejemos que

$$S_{2^n}=\frac{1}{\sqrt2^{n}}(X_1+...+X_{2^n}),\ n=1,2,3,...$$

donde $X_i$ son extracciones independientes de la distribución de $X$ . Ahora

$$S_{2^{n}}=\frac{1}{\sqrt2^{n-1}}(\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}+...+\frac{X_{2^{n}-1}+X_{2^n}}{\sqrt{2}}),\ n=1,2,3,...$$

Pero tienes $S_{2^{n}} \overset{d}= S_{2^{n-1}}$ . Repitiendo esto iterativamente $X \overset{d}= S_{2^{n}} \overset{d}\to \mathcal{N}(0,1)$ donde el último resultado se desprende de CLT.

Answer 2

Aquí hay una solución un poco tediosa usando funciones características.

La función característica de una suma de variables independientes $$ \varphi_{(X+Y)/\sqrt2}(t)=\varphi_X(t/\sqrt2)\varphi_Y(t/\sqrt2), $$ y como las tres distribuciones son iguales, $$ \varphi_X(t)=\varphi_X^2(t/\sqrt2). $$ Desde los dos primeros momentos de $X$ existe, la función $\varphi_X(t)$ es continuamente diferenciable dos veces, su log $\psi_X(t)=\log\varphi_X(t)$ es continuamente diferenciable también dos veces. Para la $\psi_X(t)$ y sus derivadas tenemos las ecuaciones \begin{align*} \psi_X(t)&=2\psi_X(t/\sqrt2),\\ \psi_X'(t)&=\sqrt2\psi_X'(t/\sqrt2),\\ \psi_X''(t)&=\psi_X''(t/\sqrt2). \end{align*} Obsérvese que la segunda derivada es continua en cero, por lo que es constante (si toma dos valores diferentes en $t_1$ et $t_2$ entonces toma los mismos valores en las secuencias $t_1/(\sqrt2)^n$ et $t_2/(\sqrt2)^n$ y tienen una discontinuidad en cero).

Integrando dos veces tenemos la función $\psi_X(t)=a+bt+ct^2$ et $\varphi_X(t)=e^{a+bt+ct^2}$ . Tenga en cuenta que $a=0$ (por lo demás $\varphi_X(0)\ne0$ ), y $b=0$ (porque $E(X)=0$ ). Además, como $E(X^2)=-\varphi_X''(0)=-2c=1$ tenemos $c=-1/2$ y finalmente $$ \varphi_X(t)=e^{-t^2/2} $$ que es una función característica de la distribución normal estándar.