Ecuación diferencial no lineal (de segundo orden)

Question

Necesito algunas pistas para resolver $yy''-(y')^2=xy^2$ .

Me he dado cuenta de que el lado izquierdo está cerca de $(yy')'$ :

$yy''-(y')^2=xy^2\ \Leftrightarrow\ yy''+(y')^2-2(y')^2=xy^2\ \Leftrightarrow\ (yy')'-2(y')^2=xy^2$ .

Pero no sé cómo seguir expresando los términos como derivados de algunas funciones.

Gracias

Answer 1

Considere $\frac {y'}{y}$ en lugar de $y'y$ $$yy''-(y')^2=xy^2$$ $$(\frac {y'}{y})'=x$$ Integrar $$\frac {y'}y=\frac {x^2}2+k$$ $$\int \frac {dy}y=\int \frac {x^2}2+kdx$$ $$\ln y=\frac {x^3}6+k_1x+k_2$$ $$y(x)=k_2e^{\frac {x^3}6+k_1x}$$

Answer 2

Tomar el cambio de variable $z = \ln y$ . Por lo tanto, usted terminaría con las siguientes relaciones $$y = e^z$$ $$y' = z'e^z$$ $$y'' = e^z z'' + (z')^2 e^z$$ Tras la sustitución (todos los $e^z$ se anulan), dejándote con un $2^{nd}$ ecuación diferencial de orden, que es fácil de resolver: $$z'' = x$$