¿Nosotros podemos caracterizar las clases de equivalencia de matrices hasta izquierda multiplicación por una matriz ortogonal?

Question

Deje $M_n$ ser el espacio de $n \times n$ real de las matrices, y considere la siguiente relación de equivalencia en $M_n$:

$A \sim B$ si no existe $Q \in O(n)$ tal que $A=QB$.

Podemos caracterizar muy bien las clases de equivalencia de esta relación?

Por comparación, la habitual "ortogonal de equivalencia", es decir, $A \sim B \iff A=QBU$ algunos $Q,U \in O(n)$ da lugar a la noción de enfermedad vesicular porcina-es decir, cada clase de equivalencia corresponde a una específica secuencia finita de valores singulares. Por lo tanto, los valores propios son los "invariantes" que clasificar las clases de equivalencia.

Es allí cualquier manera sensata para asociar una lista de clasificación de los invariantes a la nueva relación de una manera similar?

Por supuesto, tendremos más "invariantes" para distinguir entre diferentes clases: va a ser algo así como "los mismos valores singulares de+algo más".

En particular, se ha $A \sim B \implies \ker A=\ker B$, pero para invertir matrices de esto en realidad no añade ninguna información.

Incluso encontrar algunos no trivial condiciones suficientes para al $A \sim B$ sería interesante: Tener los mismos valores singulares es ciertamente necesario, pero está lejos de ser suficiente, lo cual puede ser comprobado directamente, incluso en la dimensión $2$. ($\Sigma$ y $\Sigma Q$ no son equivalentes genéricamente).

Answer 1

Dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ son equivalentes en virtud de su relación si y sólo si $A^T A = B^T B$. En una dirección, si $A = QB$

$$ A^T A = (QB)^T (QB) = B^T Q^T Q B = B^T B. $$

En la otra dirección, si $A^T A = B^T B$ entonces podemos usar la descomposición polar para escribir $A = QP, B = UP$ donde $P = \sqrt{A^T A}$ $Q,U \in O(n)$ son ortogonales y, a continuación,

$$ A = QP = (QU^{-1}) UP = (QU^{-1})B $$ y desde $QU^{-1}$ es ortogonal, tenemos $A \sim B$. De hecho, si se denota por a $X \subseteq M_n(\mathbb{R})$ el subespacio de positivo semidefinite matrices, el mapa de $[A] \mapsto A^TA$ le da un homeomorphism entre la órbita de espacio $M_n(\mathbb{R}) / \sim$$X$. Este mapa está bien definido, uno-a-uno y continuo por la propiedad del cociente de la topología con un continuo inverso $P \mapsto [\sqrt{P}]$.