¿Cómo probar que$ a^2+b^2+c^2=1$ implica$ab+bc+ca \in [-\frac12,1]$?

Question

Si$a,b,c$ pertenece al conjunto de números reales y$ a^2+b^2+c^2=1$, compruebe que$ab+bc+ca$ pertenece a$[-\frac12,1]$

Intenté AM> GM> HM (progresiones significan desigualdad) pero no puedo hacer nada. Incluso he intentado asumir que a, byc son lados de un triángulo y uso de$|a-b|<|c|$ y cuadratura, pero aún así no obtengo el límite de mano derecha.

Por favor, dime cómo probarlo.

Answer 1

Considere el mapa$r\colon\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ definido por$r(x,y,z)=(z,x,y)$. Esta es una rotación alrededor de la línea$\{(x,x,x)\,|\,x\in\mathbb{R}\}$, con el ángulo$\frac{2\pi}3$. Por lo tanto, si$(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, el ángulo entre$(x,y,z)$ y$r(x,y,z)$ es, como máximo,$\frac{2\pi}3$. Entonces, si$a^2+b^2+c^2=1$ y si$\theta$ es el ángulo entre$(a,b,c)$ y$r(a,b,c)$, \begin{align}ab+bc+ca&=\bigl\langle(a,b,c),r(a,b,c)\bigr\rangle\\&=\bigl\|(a,b,c)\bigr\|^2\cos\theta\\&=\cos\theta\\&\in\left[-\frac12,1\right].\end {align}

Answer 2

Vamos a denotar $S = ab+bc+ca$.

Para el límite inferior: $$(a+b+c)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 + 2S = 1 + 2S \geq 0 \Leftrightarrow \boxed{S \geq -\frac{1}{2}}$ $ para el límite superior se utiliza Cauchy-Schwarz: $$1+2S = (a+b+c)^2 = (1\cdot a + 1\cdot b+1\cdot c)^2 \leq 3\cdot (a^2+b^2+c^2) = 3 $$$$\Leftrightarrow 1 +2S \leq 3 \Leftrightarrow \boxed{S\leq 1} $$