Me he encontrado con esta pregunta:
Sea $f : R \to R$ sea una función dos veces diferenciable tal que $f (x+\pi$ ) = $f(x)$ y $f''(x) + f(x) \geq 0$ $$ $ x\in {R} $. Prove that $ f(x)\geq0 $ $$ $x\in {R}$
Mi profesor me propuso definir una función $g: R\to R$ para un número real $a\in R$ donde $g(x) = f'(x+a) \sin x - f(x+a)\cos x$
$\therefore g'(x) = \sin x(f(x+a) + f''(x+a))\geq 0$ $$ $ x\in [0,\pi]$
Por lo tanto, para cada $a\in R$
$g(\pi) - g(0)\geq 0$
$\because$ $g(\pi) -g(0) = f(a+\pi)+f(a) = 2f(a)$
$\therefore$ $2f(a) \geq0$
$\therefore$ $f(a) \geq0$
Mi problema:
Todo parece correcto con el método que me sugirió, pero ¿cómo sé cómo definir $g(x)$ como lo hizo. ¿Hay alguna otra manera de hacer esta pregunta? Si no es así, ¿puede alguien ayudarme a identificar por qué mi profesor optó por esa definición concreta de $g(x)$ ?
Gracias por los comentarios/sugerencias.
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Para ser precisos, tenemos $g'(x) \ge 0$ sólo si $\sin x \ge 0$ . Pero esto basta para concluir $g(\pi) - g(0) \ge 0$ utilizando el teorema del valor medio .
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Tienes razón, se me olvidó escribirlo al hacer la pregunta. Acabo de editarlo. Gracias.
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@PaulFrost No entendí lo que decías de concluir $g()g(0)0$ utilizando el teorema del valor medio. Tengo un conocimiento muy básico del teorema del valor medio y le agradecería que me dijera cómo utilizamos el teorema del valor medio en este caso. Gracias.
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El teorema del valor medio dice lo siguiente. Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe $x \in (a, b)$ tal que $f (x ) = \frac{f(b ) f(a)}{ b a}$ . Aplíquelo a $g$ con $a = 0$ y $b = \pi$ .