Demostrar que hay infinitamente muchos números primos $p$, que $x^{10} + x + 1 \equiv 0 \mod p$ tiene al menos una solución $x\in\mathbb{Z}$.

Question

Probar que hay infinitamente muchos números primos $p$ tal que

$$x^{10} + x + 1 \equiv 0 \mod p$$

tiene al menos una solución $x\in\mathbb{Z}$.

Creo que debo estar haciendo una prueba por la contradicción pero no puedo averiguar de donde surge. ¡Cualquier ayuda será apreciada! ¡Gracias!

Answer 1

Sí, una prueba por contradicción es una buena manera de proceder. Asumir que los asimientos de la característica solamente para un conjunto finito de números primos $p_1,p_2,\dots, p_n$ entonces que $x:=p_1p_2\cdots p_n-1$. Se desprende que para $i=1,\dots,n$ $$N:=x^{10}+x+1\equiv 1-1+1=1 \pmod{p_i}.$ $ ahora considerar $q$ ser un primo que divide a $N$. ¿Qué podemos concluir?