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Question

Primero deje que $x=r\cos \theta, y = r\sin \theta$ y así limitar

$$\lim_{r\to 0} r^2\sin2\theta \log(r)$$

Ahora, en la región $0<x>Tal límite existe si $\delta

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Otra manera, que utiliza el hospital de L, no sé si podemos aplicar, pero escribí $r^2 \log r$ $\log(r) / (r^{-2})$ que otra vez dio 0.

</x>

Answer 1

Tenemos

$$xy \log(x^2+y^2) =(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)\cdot \frac{xy}{x^2+y^2}\to 0$$

de hecho desde $t=x^2+y^2\to 0$

$$(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)=t\log t\to 0$$

y desde $x^2+y^2\ge 2xy$

$$0\le \left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac12$$

Answer 2

Más fácilmente, $lim{r\rightarrow 0}rlog(r)=0$, deducimos que $lim{r\rightarrow 0}r^2log(r)=0$ $|sin(\theta)|\leq 1$, el resultado sigue.

Límite de $x \log x$ $x$ tiende a $0^+$

Answer 3

En primer lugar, observe que de la (in) igualdad $0\leq (x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ y $\log(r)\leq r-1$ allí sostiene que \leq \lim $$ 0 {(x,y) \rightarrow (0,0)} | xy\log(x^2+y^2) | \leq \lim {(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) | x ^ 2 + y ^ 2-1 | = 0 $$ para que el fijado es igual a cero (aplicación directa del teorema del sándwich).