Muestran que

Question

Tengo un poco tedioso pregunta. Es $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]_3 \simeq \mathbb{Z}_3[\sqrt{-5}]$ ? Puede ayudar a describir cuáles son estos:

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]_3$ $3$- ádico de la finalización del anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

• $\mathbb{Z}_3[\sqrt{-5}]$ es la extensión de la $3$-ádico números de $\mathbb{Z}_3$ con el elemento $\sqrt{-5}$. Incluso podríamos escribir como $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2 + 5)$.

Son estas dos construcciones de la misma? Así que podría escribir estas como la inversa de los límites de una clase:

$$\mathbb{Z}_3[\sqrt{-5}] = \big(\lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/3^k\mathbb{Z} \big) [\sqrt{-5}]$$

Podemos tener $x^2 + 5 = 0$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ? De hecho,$x^2 + 5 = (x+1)(x+2)$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, de modo que $\sqrt{-5} \in \mathbb{Z}_3$. El anillo todavía puede existir sólo tiene divisores de cero.

En el otro caso, siempre podemos lindan $\sqrt{-5}$$\mathbb{Z}$. Y podemos tomar este anillo modulo poderes de $3$. Y me pregunto lo que las propiedades de este anillo son:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]_3 = \lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] /3^k \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$$

La respuesta es el aspecto de un no.

Answer 1

Este es un enfoque:

Veamos primero $\bigl(\Bbb Z[\sqrt{-5}\,]\bigr)_3$. Esto es, como usted ha dicho, el $(3)$-ádico de la finalización del anillo de $R=\Bbb Z[\sqrt{-5}\,]$.

Pero, ¿qué es $(3)$ como un ideal de a $R$? Hay muchas formas de ver que $3$ se divide en este anillo, pero creo que lo más fácil es simplemente un aviso de que $(3,\sqrt{-5}-1)(3,\sqrt{-5}+1)=(3)$, como ideales de $R$, por cálculo directo. Llamar a estos dos máximos ideales de $\mathfrak p_{3}$$\bar{\mathfrak p}_3$.

La Aha. Esto es como preguntar por el $(10)$-ádico de la finalización de $\Bbb Z$: $10$ es el producto de dos racional de los números primos, y de la misma manera, $(3)$ es el producto de dos primos de $R$.

Pero es "bien conocido" que el diez-ádico enteros forman un anillo isomorfo a $\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_5$, con coordinatewise la adición y la multiplicación, por lo que un anillo con cero divisores. De la misma manera, $R_3\cong R_{\mathfrak p_{3}}\oplus R_{\bar{\mathfrak p}_3}$. Creo que esto está de acuerdo con su intuición aquí. (No es necesario verificar que ambos factores son isomorfos a $\Bbb Z_3$.)

Ahora, ¿qué acerca de la $\Bbb Z_3[\sqrt{-5}\,]$? La notación es un poco confuso. Qué quiere decir el más pequeño anillo que contiene a$\Bbb Z_3$$\sqrt{-5}$, en efecto, como he comprender esta notación? En ese caso, $\Bbb Z_3[\sqrt{-5}\,]=\Bbb Z_3$, ya que el $\Bbb Z_3$ ya tiene una raíz cuadrada de $-5$. En la justificación de mi entendimiento, ¿qué es $\Bbb R[\sqrt5\,]$? La forma de enseñar la Teoría de Galois, al menos, esta es, simplemente,$\Bbb R$. Creo que debe ser lo mismo con $\Bbb Z_3[\sqrt{-5}\,]$.

Pero si lo que quieres decir $\Bbb Z_3[X]/(X^2+5)$? En este caso, ya que los $X^2+5=(X+\sqrt{-5}\,)(X-\sqrt{-5}\,)$, un buen $\Bbb Z_3$-factorización, luego por el Resto Chino, el anillo es $\Bbb Z_3\oplus\Bbb Z_3$, igual a la de tres-ádico de la finalización de $\Bbb Z[\sqrt{-5}\,]$. Yo prefiero la otra interpretación, sin embargo, lo que los dos anillos de su título muy diferentes.