Comprendo que el Principio del Módulo Máximo funciona, pero estoy un poco desconcertado sobre por qué. Para ser más preciso, la imagen que tengo en la cabeza es algo así: para un conjunto compacto $K \subset \mathbb{C}$ ya que $|f|$ (para $f$ holomorfa) sólo puede alcanzar su máximo en la frontera $\partial K$ si se considera un disco centrado en el origen, no importa qué valor $|f|$ se obtiene en el límite de este disco, basta con aumentar un poco el radio del disco y encontrar un valor más alto de $|f|$ En otras palabras, el valor absoluto de la función sigue creciendo sin límites. ¿Qué es exactamente lo que impulsa o fuerza este crecimiento?
Busco algún tipo de explicación, geométrica o de otro tipo, que pueda ayudar a mi intuición. En particular, ¿por qué $\mathbb{C}$ se comportan de forma tan diferente a $\mathbb{R}$ ¿Aquí?
EDITAR. En respuesta a la etiqueta "duplicado": Estoy buscando algo un poco más profundo que las respuestas allí. Como se mencionó anteriormente, una explicación de la diferencia en los comportamientos de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ en este sentido, quizás con una relación con las ecuaciones de Cauchy-Riemann... parece que hay algo que hace que las funciones se comporten de forma fundamentalmente diferente a lo largo de $\mathbb{C}$ y me gustaría entender por qué, con el principio del módulo máximo como ejemplo concreto.
