pueden las funciones polinómicas con coeficientes racionales aproximar cualquier función continua en $[a,b]$ .

Question

El teorema de Stone-Weierstrass afirma que para cualquier función continua $f$ en $[a,b]$ existe una función polinómica $p$ tal que $\|f-p\|<\varepsilon$ para cualquier $\varepsilon>0$ . En el sitio web $\|\cdot\|$ es la norma sup.

Si sustituyo "una función polinómica" por "una función polinómica con coeficiente racional" del enunciado anterior, ¿seguirá siendo cierto el enunciado?

Answer 1

Seguro que es cierto. Para dos polinomios $P_n,P_n^\prime$ del mismo grado $n$ con coeficientes $p_0, \dots p_n$ y $p_0^\prime, \dots , p_n^\prime$ respectivamente, tiene $$\Vert P_n -P_n^\prime\Vert_\infty =\sup\limits_{t \in [a,b]} \vert P_n(t)-P_n^\prime(t)\vert \le c \left(\sup\limits_{1\le i\le n}\vert p_i -p_i^\prime\vert\right)$$

con $c=\sup\limits_{t \in [a,b]} \sum_{k=0}^n \vert t \vert^k$ .

Por lo tanto, si se tiene un polinomio real $P_n$ a una distancia inferior a $\epsilon/2$ de $f$ se puede encontrar un polinomio del mismo grado con coeficientes racionales $P_n^\prime$ a una distancia inferior a $\epsilon/2$ de $P_n$ . Y se puede concluir con la desigualdad triangular.

Answer 2

Sí.

Observa:

si

$p(x) \in \Bbb R[x], \tag 1$

entonces dado cualquier $\epsilon$ existe un polinomio

$q(x) \in \Bbb Q[x] \tag 2$

tal que

$\vert p(x) - q(x) \vert < \epsilon, \; x \in [a, b]; \tag 3$

para, escribir

$p(x) = \displaystyle \sum_0^n p_i x^i, \; p_i \in \Bbb R, \tag 4$

y

$q(x) = \displaystyle \sum_0^n q_i x^i, \; q_i \in \Bbb R, \tag 5$

entonces, asumiendo $a \ne b$ ,

$\vert p(x) - q(x) \vert = \vert \displaystyle \sum_0^n p_i x^i - \sum_0^n q_i x^i \vert \le \sum_0^n \vert p_i - q_i \vert \vert x \vert^i \le \sum_0^n \vert p_i - q_i \vert (\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i; \tag 6$

dado $p_i$ , $0 \le i \le n$ podemos elegir $q_i$ tal que

$\vert p_i - q_i \vert < \dfrac{\epsilon}{(n + 1)(\max_{0 \le i \le n}(\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i)}; \tag 7$

entonces

$\vert p(x) - q(x) \vert \le \displaystyle \sum_0^n \vert p_i - q_i \vert (\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i$ $< \displaystyle \sum_0^n \dfrac{\epsilon(\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i)}{(n + 1)(\max_{0 \le i \le n}(\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i)}$ $\le \dfrac{\epsilon(\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i)}{(\max_{0 \le i \le n}(\max(\vert a \vert, \vert b \vert))^i)} \le \epsilon. \tag 8$

De ello se desprende que para cada $\epsilon > 0$ y cualquier $p(x)$ como en (1), existe $q(x)$ como en (2) con $\vert p(x) - q(x) \vert < \epsilon$ en $[a, b]$ . Ahora, sustituyendo $\epsilon$ con $\epsilon / 2$ y elegir $p(x) \in \Bbb R[x]$ tal que

$\vert f(x) - p(x) \vert < \dfrac{\epsilon}{2}, \; x \in [a, b], \tag 9$

podemos encontrar algunos $q(x) \in \Bbb Q[x]$ tal que

$\vert p(x) - q(x) \vert < \dfrac{\epsilon}{2}, \tag{10}$

y combinando (9) y (10) tenemos

$\vert f(x) - q(x) \vert = \vert f(x) - p(x) + p(x) - q(x) \vert$ $\le \vert f(x) - p(x) \vert + \vert p(x) - q(x) \vert < 2 \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon, \; x \in [a, b], \tag{11}$

o

$\Vert f(x) - q(x) \Vert < \epsilon. \tag{12}$

Answer 3

Sí, es cierto. Sabemos que podemos aproximar $f$ arbitrariamente por un polinomio $p = \sum_k a_k x^k$ con coeficientes reales. Sea $q = \sum_k c_kx^k$ sea un polinomio con coeficientes racionales. Entonces para cualquier $x \in [a,b]$ $$ |p(x)-q(x)| \leq \sum_{k=1}^n |a_k-c_k||x^k| \leq \sum_{k=1}^n |a_k-c_k| b^k $$ Por densidad de racionales, podemos hacer $|a_k-c_k| < \frac{\epsilon}{nb^k}$ .

Answer 4

Sí. Sabemos que hay algunos $p$ de grado $n$ con $||f-p|| < \epsilon$ . Puede mostrar que el mapa $f: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ que envía $(a_0, \ldots, a_n)$ a $||f - p||$ donde $p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ es continua, por lo que $f^{-1}( (0, \epsilon))$ es un conjunto abierto no vacío; como los racionales son densos en $\mathbb{R}^{n+1}$ debe haber un punto racional en $f^{-1}((0, \epsilon))$ .