Rango de

Question

Encontrar variedad de $f(x)=3 |\sin x|+4 |\cos x|$

podemos encontrar máxima como $5$

Cómo encontrar el mínimo

Answer 1

Para el mínimo uso de $|\sin(x)| \leq 1$ y $|\cos(x)| \leq 1$ tiene

$$3= 3\sin^2(x)+3 \cos^2(x) \leq 3|\sin(x)|+3|\cos(x)| \leq 3|\sin(x)|+4|\cos(x)|$$

Es fácil ver que la igualdad se produce exactamente cuando $\cos(x)=0$.

Answer 2

Sugerencia

Dividir el problema en cada cuadrante.

$1º$ Cuadrante: $\sin x\ge0$ y $\cos x\ge0$

$2º$ Cuadrante: $\sin x\ge0$ y $\cos x\le0$

$3º$ Cuadrante: $\sin x\le0$ y $\cos x\le0$

$4º$ Cuadrante: $\sin x\le0$ y $\cos x\ge0$

y resolver para cada uno.

Por ejemplo, $1º$ cuadrante tenemos: $$f(x)=3\sin x+4\cos x=5\left(\frac 35\sin x+\frac 45\cos x\right)=5\sin(x+\alpha)$ $

donde, $\sin \alpha=4/5$ y $\cos \alpha=3/5$. ¿Cuál es el mínimo en este caso?

Answer 3

Dividir la ecuación en cuatro ecuaciones en cuatro intervalos diferentes sin valores absolutos. Luego diferenciarlos. Encuentra cuando el diferencial de cada uno es igual a cero. Encontrar la variación y lo que sucede cuando cambias de un intervalo a otro.

Sugerencia : el mínimo es un interruptor entre dos intervalos.

Answer 4

Debido a la simetría de la curva, es suficiente para considerar el intervalo de $[0,\pi/2]$

En ese intervalo la función es f (x) = $3\sin x + 4 \cos x$ donde tiene su máximo de $5$ $x= \tan ^{-1} (3/4)$ y su mínimo de en el punto final $x= \pi/2$

Answer 5

Por la desigualdad de Cauchy tenemos un máximo: $$|f(x)|\leq \sqrt{3^2+4^2}\sqrt{\sin ^2 x+\cos^2x} = 5$ $ con la igualdad cuando $|\sin x|: |\cos x| = 3:4$.