Teorema: 4 normales se pueden extraer de cualquier punto de la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. $( a > b > 0)$
Yo tenia una duda en la prueba de la afirmación anterior dado en mi libro.
La prueba dada en el Libro. La normal en el punto con ángulo excéntrico $\phi$$ax\sec\phi - by \csc\phi = a^2 - b^2 $. Sea P$(h,k)$ ser cualquier punto en $\mathbb{R^2}$. Si lo normal pasa a través de P: $$ah\sec\phi - bk \csc\phi = a^2 - b^2 = a^2e^2 $$ Deje $ t = \tan \frac{\phi}{2}$,$\cos \phi = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$\sin \phi = \frac{2t}{1 + t^2}$. Sustituyendo y reordenando, se obtiene:
$$bkt^4 + 2t^3(ah + a^2e^2) + 2t(ah - a^2e^2) - bk = 0 $$
Esta es una cuártica en $t$, por lo tanto, tiene 4 raíces, correspondiente a 4 puntos de la elipse que se conormal.
Duda: Mi pregunta es ¿cómo sabemos que las raíces de la ecuación de cuarto grado son reales y distintas? Porque si no, entonces el teorema aún no está demostrado. Miré el discriminante de un cuarto grado en la Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function), pero las desigualdades son demasiado difíciles de manejar. ¿Cómo puedo mostrar que las raíces son reales y distintas?
