Probar o encontrar un contraejemplo

Question

Supongamos $f(x)$ es limitado y derivable en a $[0,\infty)$. Considere la declaración:

Si $\lim_{x\to \infty}f(x)=0 $,$\lim_{x\to \infty}f'(x)=0 $.

Demostrar que si es correcto o mostrar un contraejemplo.

Creo que no es verdad y tratando de encontrar un contraejemplo mediante el uso de funciones que contiene a $\cos(\frac{1}{x})$ o $e^{-x}$ o de otras cosas. El objetivo final es encontrar algo que hacer es derivado de " límite en infite no existe. Ya que, si existe, debe es igual a cero o $f(x)$ no va a ser limitada.

Answer 1

Puede tomar $f(x)=e^{-x}\sin(e^x)$, por ejemplo. Tenga en cuenta que $f'(x)=-e^{-x}\sin(e^x)+\cos(e^x)$ y que por lo tanto no existe el limite $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$.