¿Es esta función compleja diferenciable en 0?

Question

Estoy moviendo mis primeros pasos en el análisis complejo. No puedo decir si la función$$f(x+iy) = 2|xy|+i(y^2-x^2)$ $ es derivable en$0$ o no.

Intenté usar el límite del cociente de diferencia :$$\lim_{z\to 0}\frac{2|xy|+i(y^2-x^2)}{x+iy}$ $

El límite es$0$ cuando$xy>0$ porque$x=-iy$ es una raíz del numerador, pero no puedo calcular el límite en general ...

Answer 1

Una menos milagrosa argumento algo así como la otra respuesta: Si $z=x+iy$, entonces está claro que $|x|\le|z|$$|y|\le|z|$, por lo tanto $$|f(z)|\le 2|z|^2+|z|^2+|z|^2.$$(So $$\left|\frac{f(z)-f(0)}z\right|\le\frac{4|z|^2}{|z|}=4|z|\to0\quad(z\to0).)$$

Esto parece preferible porque, por ejemplo, también se aplica para mostrar la función $g(x+iy)=3|x||y|+x^2$ es diferenciable en el origen, sin la milagrosa simplificación.

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Con respecto a la C-R ecuaciones, y algunos errónea de las cosas que se han dicho en los comentarios: Para esta función tenemos $u_x=u_y=v_x=v_y=0$ en el origen, pero los parciales no son ni siquiera definida en una vecindad del origen, por lo que ciertamente no son continuas en el origen, por lo tanto no podemos usar el C-R ecuaciones para mostrar $f$ es diferenciable en el origen.

El teorema es este:

Si $u_x,u_y,v_x$ $v_y$ son continuas en a $z$ , a continuación, el C-R ecuaciones en $z$ son equivalentes a la diferenciabilidad en $z$.

Ejemplo que muestra que el hecho de saber el C-R ecuaciones en un punto no implica la diferenciabilidad en ese punto: Definir $$f(x+iy)=\begin{cases}1,&(xy=0), \\0,&(xy\ne0).\end{casos}$$

A continuación, en el origen de todo, cuatro parciales existen y, de hecho, $u_x=u_y=v_x=v_y=0$ en el origen, por lo que el C-R ecuaciones son satisfechos en el origen. Pero $f$ no está aún continua en el origen, por lo que ciertamente no es diferenciable en el origen.

Ok, no es un "pointwise" versión del teorema de que podría ser aplicado en el ejemplo de la pregunta:

Supongamos $f:\Bbb C\to\Bbb C$ es Frechet diferenciable en a $z$ (cuando se considera como un mapa de $\Bbb R^2$$\Bbb R^2$) y satisface la C-R ecuaciones en $z$. A continuación, $f$ es complejo diferenciable en a $z$.

La función en cuestión es Frechet diferenciable en el origen. Pero esto no es en realidad de cualquier uso, debido a que la verificación es Frechet diferenciable en a $0$ es casi exactamente el mismo que el de verificar directamente que es complejo-diferenciable en a $0$.

Answer 2

INSINUACIÓN:

ps

¿Puedes probar que el límite existe?