Sobre la traducción entre un morfismo de esquemas y su descripción geométrica

Question

Dentro de la teoría de los esquemas, más que formalmente la definición de un morfismos de esquemas (diciendo que prime va a la cual, y lo que el pullback mapa parece), nos dan a menudo la intuición geométrica detrás de él. Estoy teniendo problemas para traducir entre estas dos perspectivas.

Ejemplo más sencillo. Vamos a trabajar en $\mathbb{R}$. Quiero formalizar lo que es la 'proyección de la parábola $y = x^2$ $y$eje' significa. Dentro del mundo de esquemas, supongo que quiere decir que una de morfismos de$\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x,y] / (y - x^2)$$\operatorname{Spec} \mathbb{R}[y]$. Cual? Basta con elegir el anillo derecho del mapa $\mathbb{R}[y] \to \mathbb{R}[x,y] / (y-x^2)$. La opción obvia sería la inclusión del mapa, así que va a ser lo que usted desea. Para ser honesto, la única razón por la que 'get' esto es debido a que esta es la única opción razonable.

Más difícil de ejemplo. Considere la posibilidad de la circunferencia de radio $1$ alrededor del origen. Queremos encontrar puntos racionales en este círculo. Uno de ellos es el punto de $p = (1,0)$. Si $q$ es otro punto racional, considere la línea que va a través de$p$$q$, y calcular la pendiente de esta línea. Terminamos con un mapa de tomar las coordenadas $q = (x,y)$ y el envío a la pendiente $y/(x-1)$. De alguna manera, este debe producir un racional mapa del círculo afín a la línea, es decir, un mapa de $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x,y] / (x^2 + y^2 - 1) \dashrightarrow \mathbb{A}_{\mathbb{Q}}^1$. Que racional mapa debe ser? Ella me golpea. Intuitivamente entiendo lo que el mapa debe hacer. También entiendo que la fórmula que se describe da el comportamiento en circuito cerrado puntos. Pero yo no soy capaz de traducir la intuición de un pleno derecho racional mapa.

Pregunta. ¿Qué debe hacer el mapa de estar en la más difícil de ejemplo?

Lo he intentado. El problema que estoy enfrentando es que estamos buscando un racional mapa, y no una de morfismos, por lo que no podemos considerar un mapa correspondiente de los anillos. En este caso, tenemos la suerte de que el birational "inversa" de este mapa es un morfismos, y este morfismos debe corresponder a un anillo mapa de $\mathbb{Q}[x,y] / (x^2 + y^2 - 1) \to \mathbb{Q}[z]$. No puedo pensar en una opción razonable. También se podría intentar definir el deseado racional mapa en pequeñas cuñados y únelos pero esto parece más tedioso, y me acaban de quedarse con el mismo problema.

Pregunta de seguimiento. ¿Cuál es el procedimiento general para pasar de una descripción geométrica de un real de morfismos, y ¿cómo sabemos cuando basta para describir el comportamiento en el cerrado de puntos?

Edit. Yo también estaría muy feliz con una referencia. Por desgracia, no hay ningún libro que yo sé de que parece referirse a este 'puente'. Vakil define formalmente morfismos de esquemas, pero luego se procede a dar 'ejemplos' de morfismos de esquemas proporcionando coordinar los mapas.* Hartshorne y Mumford dar ejemplos en el mundo de las variedades (donde coordinar los mapas están muy bien debido a que sólo se han cerrado los puntos a tratar), pero se olvidan de ellos al pasar a esquemas. Eisenbud sólo da muy básico, donde hay realmente sólo una opción razonable de anillo mapa. Liu no que realmente molesta con ejemplos.

*: Que dijo, él es el único que reconoce la existencia de la 'puente'. Cito: "Supongamos que usted está buscando para los puntos racionales en el círculo de $C$$x^2 + y^2 = 1$. Un punto racional es $p = (1,0)$. Si $q$ es otro punto racional, a continuación, $pq$ es una línea de racional (no infinito) de la pendiente. Esto le da un racional mapa de la cónica $C$$\mathbb{A}^1_{\mathbb{Q}}$, dado por $(x,y) \mapsto y / (x-1)$." Luego menciona: "Algo sutil que acaba de suceder: estábamos hablando de $\mathbb{Q}$-puntos de un círculo, y terminó con un racional mapa de esquemas." Pero él no dice lo que ese 'algo sutil" se supone que debe ser, y que es precisamente el detalle que he estado buscando desesperadamente por un largo tiempo. ¿Qué es?

Answer 1

Para mayor claridad me deja escribir $\mathbb Q[X,Y]$ para el anillo de polinomios y $\mathbb Q[x,y]=\mathbb Q[X,Y]/\langle X^2+Y^2-1\rangle$ para el anillo de funciones regulares en su círculo de $S:=V(X^2+Y^2-1)\subset \mathbb A^2_\mathbb Q=\operatorname {Spec}(\mathbb Q[X,Y])$

Su racional mapa puede ser descrito en dos formas diferentes:
a) que Se corresponde con el isomorfismo de la función racional de los campos de las dos variedades de $\mathbb A^1_\mathbb Q$ y $S$: $$\mathbb Q(z)=\operatorname {Rat}(\mathbb A^1_\mathbb Q)\stackrel {\cong}{\to} \operatorname {Frac}(\mathbb Q[x,y]) = \operatorname {Rat}(S):z\mapsto \frac{y}{x-1}$$

b) corresponde a la mapa $$f:U\to \mathbb A^1_\mathbb Q$$ defined only on the open subset $U=S\setminus \{(1,0)\}=\operatorname {Spec}(\mathbb Q[x,y])\setminus V(x-1)\subconjunto S$
(Recordar que un racional mapa de $X\dashrightarrow Y$ entre las variedades es administrado por un mapa $U\to Y$definido en un no-vacío abierto subconjunto $U\subset X)$
Este morfismos $f$ es inducida por el anillo de morfismos $$f^*:\mathbb Q[z] \to\mathcal O(U)=\mathbb Q[x,y]_{( x-1)}=\mathbb Q [x,y,\frac {1}{x-1}]:z\mapsto \frac{y}{x-1} $$

Comentario
Su desconcierto parece ser debido a la idea errónea de que los morfismos de esquemas $f$ correspondería a un anillo de morfismos $f^*:\mathbb Q[z]\to \mathbb Q[x,y]$: esto es imposible porque el codominio sería demasiado pequeño.

Answer 2

Más difícil de ejemplo. Considere la posibilidad de la circunferencia de radio $1$ alrededor del origen. Queremos encontrar puntos racionales en este círculo. Uno de ellos es el punto de $p = (1,0)$. Si $q$ es otro punto racional, considere la línea que va a través de$p$$q$, y calcular la pendiente de esta línea. Terminamos con un mapa de tomar las coordenadas $q = (x,y)$ y el envío a la pendiente $y/(x-1)$. De alguna manera, este debe producir un racional mapa del círculo afín a la línea, es decir, un mapa de $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x,y] / (x^2 + y^2 - 1) \dashrightarrow \mathbb{A}_{\mathbb{Q}}^1$. Que racional mapa debe ser? Ella me golpea. Intuitivamente entiendo lo que el mapa debe hacer. También entiendo que la fórmula que se describe da el comportamiento en circuito cerrado puntos. Pero yo no soy capaz de traducir la intuición de un pleno derecho racional mapa.

Pregunta. ¿Qué debe hacer el mapa de estar en la más difícil de ejemplo?

Parece que se confundan por los puntos en el infinito. Hay un isomorfismo de cualquier suave curva cuadrática en $\mathbb{P}^2$ $\mathbb{P}^1$pero usted está tomando el círculo, que tiene dos puntos complejos en el infinito, y su comparación con la línea con un punto en el infinito: estos afín espacios son no isomorfos. Por lo tanto $t=y/(x-1)$ es de hecho un isomorfismo el campo de $k(t)$ y el cociente campo de $k[x,y]/(x^2+y^2-1)$ (aquí es su tarea: para comprobar esto, encontrar las expresiones para $x$ $y$ como funciones racionales de $t$). Pero el punto de $(1,0)$ sobre el círculo se va a $t=\infty$.