Algunos dicen que la longitud es la $\mathbb R^1$ equivalente a $\mathbb R^2$ zona o $\mathbb R^3$ volumen pero se pueden restar áreas o tener intersecciones de áreas. Necesito hacer lo mismo en una dimensión pero no sé qué término utilizar. ¿Es la longitud el término adecuado para ello?
La abstracción típica del área es una medir que también es una abstracción de la longitud, por lo que parece probable que también sea correcta para su aplicación.
El volumen topológico $V_n(S)$ de un sólido $S$ de dimensión $n$ se define como $V_n(S) = \int_S dV$ .
Como tal, $V_2$ representa la superficie (área) y $V_3$ representa el volumen (definición 3D habitual).
Si seguimos ese razonamiento, $V_1(S)$ se refiere a la longitud. Por lo tanto, su imagen es correcta si está hablando por encima de $V_1(S)$ .
Lo que se busca son los subconjuntos elementales de los reales, que se define como todos los subconjuntos que se pueden generar a partir de los intervalos, la unión, la intersección y el complemento. Si se añade el cierre bajo la unión contable y la intersección contable también, entonces se obtiene el Subconjuntos de Borel .
Si se quiere poder asignarles longitudes, es posible que se quiera la aditividad contable (la longitud de una unión disjunta contable es la suma de sus longitudes). Resulta que los conjuntos de Borel satisfacen la aditividad contable bajo la Medida de Lebesgue .
Estas nociones se extienden a dimensiones superiores. Obsérvese que en la geometría euclidiana y en muchas aplicaciones del mundo real es suficiente la medida de Jordan (más simple), aunque no satisface la aditividad contable (ya que los racionales no son medibles por Jordan) sino que sólo satisface la aditividad finita.
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