Una característica de la transformación de rayos x

Question

Problema: Vamos a $P_{\theta}f(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x + s \theta) ds$ se define como el x-ray de transformación, donde $\theta \in S^{n-1}$, e $x$ pertenece a $\Theta^{\perp}$, el hyperplane que pasa por el origen y es ortogonal a $\theta$. Ahora, ¿por qué es que $\widehat{P_{\theta}f}(\xi) = 0$ $\xi \in \Theta^{\perp}$ implica que $P_{\theta}f = 0$ ($\hat{f}$ significa que la transformada de Fourier de $f$)? Este resultado se produjo en el papel de "Prácticas y Aspectos Matemáticos del Problema de la Reconstrucción de Objetos de Radiografías" (Teorema 4.2 prueba), el autor no da ninguna explicación para ello.

Intento de explicación: yo estaba originalmente pensando que tal vez la inyectividad de la transformada de Fourier estaba jugando un papel aquí, pero no puedo ver cómo es en realidad puede ser cierto en un hyperplane en lugar de $\mathbb{R}^n$. El uso de la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula también parece no dar a me $P_{\theta}f = 0$, ya que el $\widehat{P_{\theta}f}(\xi)$ sólo se desvanece en $\Theta^{\perp}$ en lugar de en todos los de $\mathbb{R}^n$. Me estoy perdiendo algo muy obvio aquí? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Es un hecho general de que si una función (digamos de $\mathbb{R}^N$$\mathbb{C}$) se desvanece, entonces su transformada de Fourier se desvanece así.

Deje $\theta \in S^{n-1}$ ser un ángulo fijo, y deje $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$. A continuación, $P_{\theta} f$ es una función de la hyperplane $H$ orthgonal a$\theta$$\mathbb{C}$. Este hyperplane puede ser visto (por un cambio de base, por ejemplo) como $\mathbb{R}^{n-1}$. Por lo que tiene una función de $P_{\theta} f : H = \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{C}$ cuya transformada de Fourier se desvanece, y la aplicación de la anterior hecho general, se deduce que $P_{\theta} f$ se desvanece en todas partes en $H$. Esto es lo que se afirma en el documento.

Creo que tu confusión viene del hecho de que el pensamiento $P_{\theta} f$ fue definido en todas las $\mathbb{R}^n$, pero ese no es el caso, sólo se define en $H$.