Prueba de la desigualdad de GM-AM

Question

Me he encontrado este problema en Kuratowski introducción al cálculo. Me gustaría ayudar en la dirección de la pista proporcionada en el libro. En la pista, no entiendo cómo la media aritmética $AM$ es mayor que $GM$, o donde incluso se dirigen. Gracias.

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Denotar por $A$ $G$ la aritmética y geométrica medio de los números positivos $a_{1},a_{2},...,a_{n},$ respectivamente, es decir, $$A=\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{n}}{n},\ \ \ \ \ \ \ \ \ G=\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}.$$ Demostrar que $G\le A$.

Sugerencia: Proceedd la prueba por la observación de que si $a_{1}<A<a_{2}$, entonces la media aritmética de los números de $A,a_{1}+a_{2}-A,a_{3},...,a_{n}$ $A$ y la media geométrica de estos números es $>G$.

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Siguiendo la sugerencia de lo $$A(a_{1}+a_{2}-A)>a_{1}a_{2}$$ Cómo es esto cierto?

Answer 1

Aquí es donde la pista se dirige. Si los números en su lista que no son todos iguales, entonces existen dos números, por llamarlos $a_1$$a_2$, de tal manera que $A$ se encuentra estrictamente entre ellos. Crear una nueva lista de la lista original, mediante la sustitución de $a_1$$A$, y la sustitución de $a_2$$a_1+a_2-A$. Entonces, según la sugerencia (que ha demostrado a través de @dxiv de la pista), la nueva lista tiene la misma media aritmética como, pero más de la media geométrica de la original. ¿Qué es lo siguiente? Puede repetir este procedimiento hasta obtener una lista que consta de todos los $A$. ¿Qué se puede decir acerca de la media aritmética y la media geométrica de este final de la lista, y cómo estos se relacionan con la lista original?

Answer 2

<blockquote> <p>Siguiendo la sugerencia de obtener que: $\quad A(a_{1}+a_{2}-A)>a_{1}a_{2}$</p> </blockquote> <p>Siguiente sugerencia: que es equivalente a $\,(A-a_1)(A-a_2) \lt 0\,$.</p>