Resolver

Question

Resolver el ecuación diofántica del $x^3-y^3-z^3=3^t \cdot 2xyz,(x,y,z \in \Bbb N)$, donde $t\in \Bbb N.$

Hay infinitamente muchas soluciones para $t=1$ $x=52,y=21,z=19$ de la solución inicial.

Buscar todas las $x1$, quiero saber si hay alguna solución para $t>1$.

Answer 1

Edit 1: Acabo de notar que la solución de la pregunta por $u,v,w\in\mathbb N$, con lo que el procedimiento de búsqueda es la misma que requieren una comprobación adicional que se $\geq 1$.

Algunas de las soluciones para las pequeñas $t$'s.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline t& u & v & w \\ \hline 2 & 35917476 & 6829645 & 10182731\\ \hline 3 & 1137565 & 647349 & 30196 \\ \hline 4 & 44334184670964 & 613899299195 & 18359866789309 \\ \hline \end{array} Parece que la torsión puntos corresponden a una solución en la que uno de $u,v,w$$0$, por lo que no hacemos uso de ellos. En este supuesto, la solución para el problema original implicaría la búsqueda de los puntos de los infinitos órdenes de asociados de curva Elíptica.

para $t=5$ la curva es birational a una curva Elíptica de rango $0$, de modo que no hay cero soluciones. Por lo tanto no todos los $t$ los rendimientos de una solución.

Para $t\geq 6$ los parámetros de la curva son enormes, de modo que tanto el Magma y la Salvia es incapaz de calcular los generadores. (Tal vez la búsqueda de una solución implicaría un mejor algoritmo para encontrar los generadores?)

En particular, en $t=6$ la curva original $$ \frac{46656}{114791255}(u^3 - v^3 - w^3 - 3^6 \cdot 2uvw) = 0 $$ es birational a $$ y^2z = x^3 - 1506290966208 x z^2 + 711559628544550032 z^3 $$ a través de $$ \begin{align} (u,v,w) &= (\frac{-1458 x+y+1033121268 z}{216}, \frac{1458 x+y-1033121268 z}{216} , \frac{-x-2125764 z}{36}) \end{align} $$

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Podemos sistemáticamente tratar de resolver para cada una de las $t>1$ y parece que a veces la ecuación será birational a un rango de 1 curva elíptica, quisiera decir una infinidad de puntos.

Edit 1: Torsión puntos parece corresponde a soluciones donde $u,v$ o $w=0$. Por otro lado, para cada una de las $1\leq t\leq 20$, el resultado es una curva Elíptica, cada una tiene dos puntos de torsión, a su vez significa que dos soluciones de la ecuación original. Parece que esto puede mantener para cada una de las $t$, por lo menos dos (coprime) las soluciones para cada una de las $t$.

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$t=2$ ejemplo

Para $t=2$, lo queremos entero de soluciones a $$ f(u,v,w) := u^3 - v^3 - w^3 - 18uvw=0 $$ Libremente podemos multiplicar una racional $t\neq 0$ para obtener $$ t\cdot f(u,v,w) = t(u^3 - v^3 - w^3 - 18uvw)=0 $$ Desde la escala de la $(u,v,w)$ $(ku,kv,kw)$también conduce a una solución, basta con encontrar cualquier solución racional (luego escalar a enteros si es necesario).

Vamos $$ \begin{align} t&=-\frac{2^6\cdot 3^6}{5\cdot 43}=-\frac{46656}{215}\\ u&= \frac{-18x+y+1908z}{216}, & v&= \frac{18 x + y - 1908 z}{216}, & w &= \frac{-x-324}{216}, \end{align} $$ a continuación, puede comprobarse que transformar la ecuación original para $$ g(x,y,z):=x^3 - y^2 - z 36288 x z^2 + 2285712 z^3=0 $$ que es un proyectiva de curva elíptica. (En la práctica esto se ha encontrado el uso de Sagemath del EllipticCurve_from_cubic() la función.)

Debido a la escala, es suficiente para establecer $z=1$ y encontrar soluciones racionales a $(x,y,1)$ en su lugar, es decir, la resolución de $$ E: y^2 = x^3-36288x+2285712 $$ Este es un rango de 1 curva Elíptica, por lo que hay infinitamente muchos puntos racionales $(x,y,1)$. Cada uno de estos lleva a una solución racional para $f(u,v,w)=0$, por lo que sabemos que hay una infinidad de soluciones.

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Soluciones de la muestra.

La curva de $E$ tiene rango 1 con generador de $G=(-168,1908)$, por lo que se genera puntos $$ \{(-168,1908), (\frac{1395408}{2809} , -\frac{1538896356}{148877}), (\frac{7075793089}{672624225} , \frac{24078086348446313}{17444509275375})\cdots\} $$ La conversión de a $(u,v,w)$, obtenemos $$ \{(\frac{95}{3}, -14, -\frac{13}{3})),(-\frac{11972492}{148877},-\frac{6829645}{446631},-\frac{192127}{8427}),(\frac{54059017558123943}{3768014003481000},-\frac{5902844861231317}{3768014003481000},-\frac{225006041989}{24214472100})\cdots \} $$ La normalización, las tres primeras soluciones son $$ \begin{align} (95,-42,-13),\\ (-35917476, -6829645, -10182731)\\ (54059017558123943, -5902844861231317, -35013190193908290) \end{align} $$

Edit 1: requerimos soluciones en $\mathbb N$, por lo que buscamos positivo de trillizos. Ya podemos multiplicar por $-1$, negativo trillizos trabajo así. Aquí encontramos la solución $$ (35917476, 6829645, 10182731) $$