La distancia entre dos puntos en un universo hipotético.

Question

Tengo un hipotético universo en el que la distancia entre dos puntos en el espacio-tiempo se define como:$$ds^2 =−(\phi^2 t^2)dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$Where $\phi$ has units of $km espacio\s^{-2}$. El espacio en este universo crece cuadráticamente con el tiempo (y, como yo lo entiendo, probablemente no es el espacio-tiempo de Minkowski). Una partícula que viaja a la velocidad de la causalidad, c, siga este contorno desde el punto O hasta el punto P.

Dado que el tiempo entre el punto O y el punto P, es posible encontrar la distancia desde el punto P al punto Q (por ejemplo, una función existe tal que $f(\Delta t) = d_L$)? Si es así, ¿cuál es la fórmula?

Answer 1

No soy físico ni matemático que sabe sobre los espacios de Minkowski, pero aquí es una puñalada de todos modos.

Parece que la velocidad de la causalidad de su universo es $c(t)=\phi t$. Así que la velocidad de la partícula es $c(t)= dx/dt$. Simplemente obtenemos

$$dx/dt= \phi t$$ $$x_P-x_O= \phi (t_P^2-t_O^2)/2$$

Así que la distancia recorrida es simplemente $\phi (t_P^2-t_O^2)/2$ donde $t_O$ es la hora en punto O y $t_P$ es el tiempo en el punto P.