Usando $\epsilon$$\delta$enfoque, demostrar que $\lim_{(x,y)\rightarrow (1,3)}\frac{x}{y}=\frac{1}{3} $

Question

Cómo probar que $$ \lim_{(x,y)\rightarrow (1,3)}\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$$ Por $\epsilon$-$\delta$ definición.

Lo que hice es esta:

Deje $\epsilon$ ser mayor que cero; necesito encontrar un $\delta(\epsilon)>0$ tal que $|x/y-1/3|<\epsilon$ siempre $0<\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}<\delta$.

Entonces, la reescritura de $$\bigg|\frac{x}{y}-\frac{1}{3}\bigg|=\bigg|\frac{3x-y}{3}\bigg|= \bigg|\frac{3x-y+3-3}{3}\bigg|= \bigg|\frac{3(x-1)+(-y+3)}{3}\bigg| $$

Ahora, por la desigualdad de triángulo $$\bigg|\frac{3(x-1)+(-y+3)}{3y}\bigg|\leq \frac{3|x-1|+|y-3|}{3|y|}$$ desde

$$|x-1|<\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}<\delta \text{ and } |y-3|<\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}<\delta$$

entonces

$$\frac{3|x-1|+|y-3|}{3|y|}<\frac{3\delta+\delta}{3|y|}=\frac{4\delta}{3|y|}$$

Pero tengo que $|y-3|<\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}<\delta$,$y\in (3-\delta,\delta+3)$.

Así que creo que el siguiente paso es tomar las $\delta =1/3$; si hago lo que puedo conseguir $8/3<y$ $1/|y|<3/8$ entonces $$\frac{4\delta}{3|y|}<\frac{3}{8}\frac{4\delta}{3}=\frac{\delta}{2}.$$

Así,$\delta=\min\{1/3, 2\epsilon\}$, tenemos

$$\bigg|\frac{x}{y}-\frac{1}{3} \bigg|< \frac{3}{8}\frac{4\delta}{3} = \frac{\delta}{2}= \frac{1}{2}2\epsilon = \epsilon. $$

es este razonamiento correcto?

Answer 1

De manera más general: asumir la $\delta < 3$. Puesto que usted está trabajando en un círculo abierto de centro $(1,3)$ y radio de $\delta$, se puede decir que el $\lvert y \rvert > 3-\delta$. Esto implica $$\frac{4\delta}{3\lvert y \rvert} < \frac{4\delta}{3(3-\delta)},$$ y entonces se puede establecer $\delta := \frac{9\varepsilon}{4+3\varepsilon}$ para encontrar que $\left\lvert \frac{x}{y}-\frac{1}{3} \right\rvert < \varepsilon.$ Explícitamente: $$\frac{4\delta}{9-3\delta} = \frac{4\frac{9\varepsilon}{4+3\varepsilon}}{9-3\frac{9\varepsilon}{4+3\varepsilon}} = \frac{36\varepsilon}{36+27\varepsilon-27\varepsilon} = \varepsilon.$$ Ahora puedes comprobar que $$\delta = \frac{9\varepsilon}{4+3\varepsilon} < \frac{3(4+3\varepsilon)}{4+3\varepsilon} = 3$$ lo que muestra que nuestra elección de $\delta$ encaja con la hipótesis de $\delta < 3$.

Por otro lado, si $\delta \geq 3$ usted puede elegir los puntos en el círculo con $\lvert y\rvert$ lo suficientemente pequeño como para que $\left\lvert \frac{x}{y}-\frac{1}{3} \right\rvert$ es arbitrariamente grande. Para ver esto, fix $x=1$ y observar que $$\left\lvert \frac{x}{y}-\frac{1}{3} \right\rvert = \left\lvert \frac{3-y}{3y} \right\rvert \to +\infty, \text{ when } y \to 0.$$

Answer 2

También se puede usar esto: si $$|x-1|