Encontrar el valor de$\frac{13}{a-13}+\frac{23}{b-23}+\frac{42}{c-42} $ dado un sistema de tres ecuaciones

Question

Deje$a, b, c, x, y, z$ ser números reales que satisfagan las tres ecuaciones

$$ 13x+by+cz=0 $ $$$ ax+23y+cz=0 $ $$$ ax+by+42z=0 $ $

Supongamos que$ a\neq13 $ y$x\neq0$. Cuál es el valor de$$\frac{13}{a-13}+\frac{23}{b-23}+\frac{42}{c-42} $ $

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Lo intenté

$$ (13-a)x+(b-23)y=0 $ $$$ (23-b)y+(c-42)z=0 $ $$$ (13-a)x+(c-42)z=0 $ $

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ps

Pero no sé cómo continuar más

Tal vez

ps

Pero cualquier sugerencia será apreciada

Answer 1

Su progreso actual es excelente.

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{(a-13)x}=\frac{1}{(b-23)y}=\frac{1}{(c-42)z}$$ means that $$\frac{13}{a-13}+\frac{23}{b-23}+\frac{42}{c-42}=\frac{13x}{(a-13)x}+\frac{23y}{(b-23)y}+\frac{42z}{(c-42)z}$$ or that $% $ $\frac{13}{a-13}+\frac{23}{b-23}+\frac{42}{c-42}=\frac{13x+23y+42z}{(a-13)x}$por la igualdad.

Sumando las tres ecuaciones dadas da $$13x+23y+42z=-2(ax+by+cz)=-2(ax-13x)=-2x(a-13)$$ from the first equation hence $% $ $\boxed{\frac{13}{a-13}+\frac{23}{b-23}+\frac{42}{c-42}=\frac{-2(a-13)x}{(a-13)x}=-2}$

P.S. Los valores de $13,23,42$ son totalmente arbitrarios. Esto funciona para cualquier triplete de números enteros distintos de cero.