Gran pregunta!
Para general$n$$m$, No. La respuesta no es simple, por lo que esto es sólo un boceto.
Por supuesto que se puede visualizar esto como un bipartito gráfico; de un lado están los vértices $Y=\{y_1,\ldots, y_m\}$ $y_i$ que representa el conjunto $S_i$, y en el otro lado están los elementos $X=\{x_1,\ldots, x_n\}$ y hay una arista $y_ix_j$ fib $j \in S_i$. Y la pregunta se convierte en si existe un subconjunto $U \subseteq Y=\{y_1,\ldots, y_m\}$ s.t. hay $\theta(n)$ vértices $x_j$ adyacente a exactamente un vértice en $U$.
Para ver esto, vamos a construir el siguiente gráfico (dibujo):
$Y$ $m\approx \frac{n}{\log n}$ vértices aproximadamente [pick $m$, de modo que $m \log m = n$ base de trabajo 2], y $X = X^1 \cup X^2 \cup X^{\log m}$ cuando la $X^l$s son distintos y cada uno tiene cardinalidad $m$.
Para cada una de las $l$, poner una al azar gráfico bipartito $Z_l$ grado $2^{l-1}$$Y$$X^l$, y deje $Z$ ser la unión de la $Z_l$s. Entonces, por un lado, para cualquier conjunto $U$, el número de vértices en $X$ adyacente a exactamente un vértice en $U$ es la suma, por encima de $l$, el número de vértices en $X^l$ adyacente en $Z_l$ a exactamente un vértice en $U$. Pero, por otro lado, para cualquier subconjunto $U$$Y$, no más de $|U|2^{l-1}$ vértices $x_j$ $X^l$ adyacente en $Z^l$ a exactamente un vértice en $U$, y si $|U|2^{l-1}$ es mayor que $m$, no hay no más de $\frac{8m^2}{|U|2^{l-1}}$ vértices $x_j$ $X^l$ adyacentes en $Z^l$ a exactamente un vértice en $U$ [de verificación a través del método probabilístico]. Por lo tanto el número máximo de vértices en $Z$ adyacente a exactamente un vértice en $U$ no es más que $\sum_l \min \left\{|U|2^{l-1}, \frac{8m^2}{|U|2^{l-1}}\right \}$. que para cualquier valor posible de $|U|$ no es más thaqn $m = o(n)$.
