Si$x=\cos a + i \sin a$,$y=\cos b + i \sin b$,$z=\cos c +i \sin c$ y$x+y+z = xyz$, muestra que$\cos(a-b) + \cos(b-c) + \cos(c-a) + 1=0$

Question

Si$x=\cos a + i \sin a$,$y=\cos b + i \sin b$,$z=\cos c +i \sin c$ y$x+y+z = xyz$, entonces muestre que$$\cos(a-b) + \cos(b-c) + \cos(c-a) + 1=0$ $

Así es como lo intenté

ps

Entonces, según el Teorema de De Moivre, $$ (\ cos a + \ cos b + \ cos c) + i (\ sin a + \ sen b + \ sen c) = \ cos (a + b + c) + i \ sin (a + b + c) $$

Igualando partes reales e imaginarias,$$x+y+z=xyz $ $ y de manera similar para sine. Ahora,

ps

¿Qué hacer ahora? Por favor ayuda. ¡Y usa el teorema de De Moivre!

Answer 1

Tenga en cuenta que$$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b) = \Re(x\bar{y})$ $ So$$\label{eq1}\cos(a-b)+\cos(b-c)+\cos(c-a) = \Re(x\bar{y}+y\bar{z}+z\bar{x})$ $ Con esto en mente, tenga en cuenta que al igual que$x$,$y$ y$z$, el$xyz$ número complejo es de módulo 1. Entonces, si volvemos a la identidad$x+y+z=xyz$, vemos que$$|x+y+z|=1$ $ En otras palabras, $$ \begin{split} 1 & = |x+y+z|^2 \\ & = (x+y+z)(\bar x+\bar y +\bar z) \\ & = x\bar x + x \bar y + x \bar z + y\bar x + y \bar y + y \bar z + z \bar x + z \bar y + z \bar z \\ & = 1 + x \bar y + x \bar z + 1 + y\bar x + y \bar z + 1 + z \bar x + z \bar y \\ & = 3 + (x \bar y + y \bar z + z \bar x) + (y\bar x + z \bar y + x \bar z) \\ & = 3 + 2 \Re(x \bar y + y \bar z + z \bar x) \end {split} $$ Concluimos que$$\Re(x\bar{y}+y\bar{z}+z\bar{x})+1=0$ $ que produce el resultado deseado.

Answer 2

( Este es un seguimiento de la respuesta de Stefan Lafon, demasiado largo para un comentario ).

Usando eso$\,|x|=1 \iff \bar x = \dfrac{1}{x}\,$ y$\,\cos(a-b)= \operatorname{Re}\left(\dfrac{x}{y}\right)=\operatorname{Re}(x \bar y) = \operatorname{Re}(\bar x y)\,$, se deduce que:

$$ \begin{align} \cos(a-b) + \cos(b-c) + \cos(c-a) &= \cos(a-b) + \cos(a-c) + \cos(b-c) \\ &= \operatorname{Re}\left(x\bar y+ x \bar z + y \bar z\right) \\ &= \operatorname{Re}\left(x\left(\bar y + \bar z\right) + y \bar z\right) \\ &= \operatorname{Re}\left(x\left(\bar x \bar y \bar z - \bar x\right) + y \bar z\right) \\ &= \operatorname{Re}\left(\bar y \bar z + y\bar z -1 \right) \\ &= \operatorname{Re}\left(\left(y + \bar y\right) \bar z -1 \right) \\ &= -1 + 2 \operatorname{Re}(y) \operatorname{Re}(z) \end {align} $$

Para que la última RHS sea$\,-1\,$, el segundo término debe ser cero, por lo que uno de$\,y,z\,$ debe ser un número puramente imaginario de módulo$\,1\,$, es decir,$\,\pm i\,$. Con algo más de trabajo de campo, se deduce que el conjunto de soluciones de las restricciones dadas es$\,\{(x,-x,z)\mid x=\pm i, |z| = 1\}\,$ o permutaciones de las mismas.

Answer 3

Cuadrar y agregar obtenemos

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ps

Observe que en realidad no necesitamos$$\cos^2(a+b+c)+\sin^2(a+b+c)=(\cos a+\cos b+\cos c)^2+(\sin a+\sin b+\sin c)^2$

La condición suficiente es$$\implies1=1+1+1+2\sum_{\text{cyc}(a,b,c)}\cos(a-b)$ $