¿Un problema con las series geométricas y las matrices?

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Sea $A$ sea una matriz cuadrada. Sea $I$ sea la matriz identidad con el mismo tamaño que $A$ .

Quiero simplificar $f_n(A) = I + A + A^2 + A^3 + A^4 + \cdots + A^n$

Ahora sé que para un número complejo $z$ tenemos $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \cdots + z^n= \dfrac{z^{n+1}-1}{z-1}$ cuando $z$ no es igual a $1$ ... e incluso si $z=1$ entonces calculando el límite obtenemos la respuesta correcta : $n+1$ . Esto es bien conocido como la serie geométrica y conduce a las llamadas ideas q-analógicas.

Pero para las matrices $A$ esto no funciona si el determinante de $A-I$ es $0$ porque entonces $\dfrac{A^{n+1} - I}{A - I}$ no está bien definida.

Esto me frustra mucho. Ahora bien, he oído hablar de los pseudoinversos, pero no sé mucho sobre ellos e incluso me pregunto si pueden ser de alguna ayuda en este caso.

También intenté algunas cosas de cálculo y fracciones continuas, pero nada me funcionó.

También consideré este problema para matrices infinitas (cuadradas) pero supongo que es análogo a este problema y también su solución.

Answer 1

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty A^k=(I-A)^{-1}$ siempre que cada valor propio $\lambda_i$ de $A$ satisface $|\lambda_i|<1$ .

El argumento para ello es análogo al del caso escalar: Si se cumple la condición de valores propios anterior, entonces $I-A$ es invertible y $$ S_n:=\sum_{k=0}^{n-1} A^k=(I-A)^{-1}(I-A^n). $$ Así, $$\sum_{k=0}^\infty A^k=\lim_{n\to\infty}S_n=(I-A)^{-1}, $$ ya que la condición de los valores propios garantiza $\lim_{n\to\infty} A^n=0$ .

Answer 2

Primero... Es una notación no estándar para dividir por una matriz. Deberías escribirlo como $(A-I)^{-1}(A^{n+1}-I)$ o $(A^{n+1}-I)(A-I)^{-1}$ Creo que ambos son válidos, sólo depende de cómo se multiplique $A$ a la serie cuando se llega a la forma simplificada.

A veces no podrás resolver sistemas de ecuaciones. Puede ser frustrante, pero en realidad tiene una interesante interpretación geométrica. El álgebra lineal es el estudio de las transformaciones sobre los vectores. La multiplicación de matrices es simplemente rotar y escalar un vector, y la inversión de matrices es una forma de invertir esa escala y rotación. Consideremos un ejemplo sencillo, el sistema de ecuaciones

$Mx=b$ .

Si la matriz $M$ tiene un determinante distinto de cero, lo que significa que es invertible. Lo que realmente significa es que para cada $b$ hay exactamente un único $x$ que te llevará allí (que satisfará la ecuación), lo que significa que si sabes $M$ y $b$ puede encontrar el original $x$ siempre.

Si $M$ tiene un determinante de $0$ significa para un determinado $b$ puede haber más de uno $x$ que te llevará hasta allí. Eso significa que si tratas de tomar una inversa directa, fallará (y debería) porque aunque sepas $M$ y $b$ no hay forma de saber exactamente qué $x$ es.

A veces puede bastar con encontrar una solución para $x$ pero hay que recordar que no será único. Hay algunas formas de hacerlo: el Pseudoinverso es una de ellas, y otra implica el uso de métodos de optimización. Si estás interesado en aprender más sobre optimización, te recomiendo que empieces con el libro Convex Optimization de Boyd (el libro y las conferencias están disponibles gratuitamente en Internet).